லியோனார்டு ஃபிபொனாஸி

          

     லியோனார்டு ஃபிபொனாஸி இத்தாலி நாட்டில் பைசா நகரின் புகழ்பெற்ற அரசு அதிகாரி குடும்பமான பொனாஸி குடும்பத்தில் பிறந்தார்.  இவரது தந்தை அரசு அமைச்சராகப் பொறுப்பு வகித்தவர் ஆவார்.  அல்ஜீரியா நாட்டில் “புகியா” என்னும் இடத்தில் அமைந்திருந்த “பிஸா காலனி” என்ற இத்தாலி அமைப்பையும் நிர்வகித்து வந்தார்.

     லியோனார்டு ஃபிபொனாஸி தனது தந்தைக்கு உதவியாக கணக்கு வழக்குகளில் ஈடுபட்டு வந்தார்.  தொழில் ரீதியாக அவர் பல இடங்களுக்குச் சென்று வந்தார்.  குறிப்பாக மத்திய தரைக்கடல் பகுதிகளுக்குச் சென்று வந்தார்.

     எகிப்பு, சிசலி, சிரியா போன்ற பல்வேறு நாடுகளுக்கும் பயணம் செய்தார்.  அப்போது அந்நாட்டில் பயன்படுத்தப்பட்டு வந்த எண்களோடு, ரோம் எண்களையும் ஒப்பிட்டு பல ஆராய்ச்சிகளில் ஈடுபட்டார்.

     மற்ற நாடுகளில் உள்ள எண்முறைகளைவிட இந்தியாவில் பயன்படுத்தும் ஒற்றை வடிவமுள்ள எண்களே எளிதான எண் வடிவம் என்பது லியோனார்டு ஃபிபொனாஸியின் கருத்தாகும்.

     லியோனார்டு ஃபிபொனாஸியின் இக்கருத்துக்குப் பின் இந்தியாவிலுள்ள எண்களின் வடிவங்களிலும் சில மாற்றங்கள் ஏற்பட்டன.  நாம் இன்று அவ்வகை எண்களின் வடிவங்களைத்தான் பயன்படுத்தி வருகிறோம்.

      இந்துக்களின் தசம எண் (Decimal) முறைகளையும் இவா் பாராட்டியுள்ளார்.

     1202ஆம் ஆண்டு “லிபெல் அபாசி” என்னும் கணிதம் பற்றிய நூலை லத்தீன் மொழியில் எழுதினார்.  அதன் பிறகு 1220ஆம் ஆண்டு “செயல்முறை ஜியோமிதி” என்னும் நூலையும் தன் தாய்மொழியான லத்தீன் மொழியிலேயே எழுதியுள்ளார்.  இந்நூலில் இந்திய அல்ஜீப்ரா, எண் கணிதம் பற்றிய குறிப்புகள் அடங்கியுள்ளன.

     லியோனார்டு ஃபிபொனாஸி கண்டுபிடித்த மற்றொரு முக்கிய தொடர் எண் வாிசை 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,……. என்ற எண் வரிசையாகும்.

     இத்தொடர் எண்களை வரிசை அடிப்படையில் F_1, F_2, F_{3, ……..} என்று குறிப்பிடலாம்.

     இத்தொடரில் முதல் இரண்டு எண்களும் 1 ஆகும்.  மூன்றாவது எண் முதல் இரண்டு எண்களின் கூட்டுத் தொகை ஆகும்.  நான்காவது எண் மூன்றாவது, இரண்டாவது எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக அமையும்.  இப்படியாக இந்த தொடர் எண் வரிசை சென்று கொண்டிருக்கும்.

     F₁ = 1,     F₂ = 1

     F₃  = F₂+F₁ = 3

இப்படியாக,

     F_n = F_n-1 + F_n-2

ஃ பிபொனாஸி தேற்றம் 1

     ஃபிபொனாஸி தொடரில் தொடர்ந்து வரும் இரண்டு எண்களுக்குப் பொதுவான பண்புகள் ஏதும் இல்லை.  அவை முழு எண்களாக அமைந்திருக்கும்.  உதாரணம் – 13, 21.

ஃ பிபொனாஸி தேற்றம் 2  

      F₁ + F₂ + F₃ + ………F_n = F_n+2 – 1

உதாரணமாக, n=6 என்றால்,

     F₁ + F₂ + F₃ +…….. F₆ = 1+1+2+3+5+8 = 20   

     F_n+2 – 1 = 21-1 = 20

ஃ பிபொனாஸி தேற்றம் 3

      F_n-1 × F_n+1 – F_n² = (-1)ⁿ

உதாரணமாக, n=6 என்றால் 

      F_n-1 × F_n+1 – F_n² = F₅ × F₇ – F₆² = 5×13-8²

                                        =65- 64 =1 (or) = (-1)⁶

                   

குறிப்பு - படித்ததில் பிடித்தது.

நூல் - உலக கணித மேதைகள்