நட்பு

வானையும் பூமியையும் இணைக்கும்

மழை என்னும் சங்கிலியே நட்பு

கடலின் சிறப்பை சொல்ல காற்றில்

கூட கலந்திருக்கும் உப்பே நட்பு

ஒரு மனிதனை பெற்றெடுப்பது தாய்

தோள் தட்டி வளர்ப்பது தந்தை

உயிரையே கொடுத்து உயர்த்துவது நட்பு

ரோஜா மலர்களுக்கு முட்கள் தான் நண்பன்

ஒருவன் மலர்கின்ற ரோஜா என்றால் 

அவன் பாதுகாத்து மலரவைப்பது நட்பு

தாய் கடவுளுக்கு நிகரான வரமாம் 

துணை கடவுள் கொடுத்த வரமாம்

நண்பன் கடவுளுக்கே கிடைக்காத வரமாம்

நட்பை மதித்துப் புரிந்துகொண்வனுக்கு

அது வரமோ- ஆனால்

மதிக்காது மதியிழந்தவனுக்கு அது சாபமே!

ச.கீர்த்தனா

முதலமாண்டு இளங்கலை கணிதம்

கே.எஸ்.ஆர் மகளிர் கலை அறிவியல் கல்லூரி

திருச்செங்கோடு

படித்ததில் பிடித்தது

ஆர். எல். மூர்.

                                                             

    1898ஆம் ஆண்டு டெக்ஸாஸ் பல்கலைக்கழகத்தில் சேர்ந்த இவர், 1901 ஆம் ஆண்டு பட்டம் பெற்றார்.  கணித மேதைகளுள் ஒருவரான ஜெ.ஜெ.சில்வெஸ்டரின் மாணவரான “ஹால்ஸ்டெட்” என்பவர் ஆர்.எல்.மூரின் ஆசிரியராக விளங்கினார்.

    ஹால்ஸ்டெட்டின் பரிந்துரையின் பேரில் மூா் 1903ஆம் ஆண்டு சிகாகோ பல்பலைக்கழகத்தின் மாணவரானத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார்.

     சிகாகோ பல்கலைகழத்தில் ஆராய்ச்சிகளில் ஈடுபட்டார்.  அந்தப் பல்கலைக்கழகம் ஆராய்ச்சிக்கு ஏற்ற சூழலுடன் அமைந்திருந்தது.

     மூர் சிகாகோ பல்கலைக்கழத்தில் 1905ஆம் ஆண்டு டாக்டர் பட்டம் பெற்றார்.  அதன் பிறகு டென்னஸி பல்கலைக்கழகத்தில் மேலும் ஓர் ஆண்டு பயிற்சியில் ஈடுபட்டார்.

     அங்கு ஆராய்ச்சிப் பணியில் ஈடுபட்டிருந்தபோது சேர்க்கை நுண்கணிதம் (Integration Calculus), அங்க கணிதம் (Arithmetics) ஆகியவற்றில் மூர் சான்றுகள் தேவைப்படாது வெளிப்படையான பல்வேறு உண்மைகளை எழுதி வெளியிட்டார்.

    அதன் பிறகு இரண்டு ஆண்டுகள் பிரின்ஸ்டன் கல்லூரியிலும் நார்த்-வெஸ்டர்ன் கல்லூரியிலும் பாடங்கள் நடத்தினார்.  இறுதியாக பென்சிவேனியா பல்கலைக்கழத்தில் பணிக்குச் சேர்ந்தார்.

    1919ஆம் ஆண்டு முதல் 1932ஆம் ஆண்டு வரை மூர் கணிதத்துறையில் ஆராய்ச்சிகள் செய்து, 38 ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளை எழுதினார்.  அக்கட்டுரைகள் ஃபவுண்டேஷன்ஸ் ஆஃப் பாயின்ட் செட் தியரி என்னும் நூலாக 1932ஆம் ஆண்டு வெளியிடப்பட்டது.

    1930ஆம் ஆண்டு முதல் அவர் ஆசிரியப் பணியில் ஆர்வம் காட்டி வந்தார்.  புதுமையான முறையில் பாடங்கள் நடத்தி, மாணவர்களை ஊக்குவித்தார்.  இதனால் அவரது புகழ் மேலும் வளர்ந்தது.

     1930ஆம் ஆண்டு வாஷிங்டன் தேசிய அறிவியல் கல்விக் கூடத்தின் உறுப்பினராகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மூர், 1938ஆம் ஆண்டு “அமெரிக்கன் மேத்தமேட்டிக்கல் சொஸைட்டியின்” தலைவராகப் பொறுப்பேற்றார்.

    இவ்வாறு கணிதத்துறைக்கு பல்வேறு பங்களிப்புகளைச் செய்த ஆர்.எல். மூர், 1974 ஆம் ஆண்டு மறைந்தார்.  பென்சில்வேனியா பல்கலைக்கழக மாணவர்கள் அவரை மிகச்சிறந்த கணிதப் பேராசிரியர் என்று புகழ்ந்தனர்.

குறிப்பு - படித்ததில் பிடித்தது

நூல்   - உலக கணித மேதைகள்

சோன்யா கோவலெவ்ஸ்காயா

                   

     சோன்யா 1850 ஆம் ஆண்டு ரஷ்யாவின் தலைநகரான மாஸ்கோவில் பிறந்தார்.  அவரது தந்தையின் மைத்துனர் ஒருவருக்கு கணிதத்தல் அதிக ஆர்வம் இருந்தது.  அதன் காரணமாக சோன்யாவுக்கும் கணிதத்தின் மீது ஆர்வம் ஏற்பட்டது.  அக்காலத்தில் ரஷ்யாவில் பெண்கள் அதிகம் கல்வி கற்கும் வழக்கம் இல்லை.

     நிக்கோலாய் நிகன்ரோவிச் டிர்டர் என்னும் கணித நிபுணர் எழுதிய நூலைப் படித்த சோன்யா, அந்நூலைப் பற்றிய மிகச்சிறந்த விமர்சனம் எழுதி அனுப்பினார்.  அதைப் படித்த நிகன்ரோவிச் வியந்தார்.  அவர் சோன்யாவின் கணித ஆற்றலைப் புரிந்து சோன்யாவைப் பாராட்டினார்.

     மேலும் அவர் சோன்யாவின் தந்தையைச் சந்தித்து, சோன்யாவுக்கு கணிதம் கற்பிக்க வேண்டும் என்று அவரது தந்தையை வற்புறுத்தினார்.  அதற்கு சோன்யாவின் தந்தையும் சம்மதித்தார்.  அவர் சோன்யாவிற்கு 17 வயது ஆகும்போது, தனிப்பட்ட முறையில் நுண்கணிதம் கற்பிக்க ஏற்பாடு செய்தார்.  சோன்யாவும் செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க் நகரில் நுண்கணிதத்தைச் சிறந்த முறையில் கற்றுக்கொண்டார்.  சோன்யா மேற்படிப்பு கற்க விரும்பினார்.

     அக்காலத்தில் ரஷ்யாவில் மேற்படிப்பு வசதிகள் இல்லை.  எனவே அவர் வெளிநாடு செல்ல தீர்மானித்தார்.  அதன் காரணமாக அவர் திருமணம் செய்துகொள்ள முன்வந்தார்.  சோன்யா, “விளாடிமிர் கோவலெவ்ஸ்காயா” என்பவரை திருமணம் செய்துகொண்டார்.

     அதற்குக் காரணம், விளாடிர் கோவலெவ்ஸ்காயா ஐரோப்பிய நாடுகளை அறிந்த ஒரு பதிப்பாளராகத் திகழ்ந்தார்.  அதன் பிறகு சோன்யாவின் பெயர் சோன்யா கோவலெவ்ஸ்காயா என்று மாறியது.

     சோன்யாவும் அவரது கணவரும் ஹைடில்பெர்க் நகருக்குப் பயணமானார்கள்.  அங்குள்ள பல்கலைக்கழகத்தில் கல்வி பயில இருவருக்கும் அனுமதி கிடைத்தது.  சோன்யா விஞ்ஞானிகளான “ஹெல்ம் போல்ட்ஸ், கிர்சாஃப்” போன்றோருடன் விஞ்ஞானம் பயின்றார்.  ”கோனிக்ஸ்பொர்கர்” என்னும் கணிதமேதையுடன் சேர்ந்து கணிதம் பயின்றார்.

     “வியர்ஸ்ட்ராஸ்” என்பவரின் மேற்பார்வையில் அவர் வேற்றுமைச் சமன்பாட்டில் (Differential Equations) கணித ஆய்வுகள் மேற்கொண்டார்.  வியர்ஸ்ட்ராஸ் சோன்யாவுக்கு “டாக்டர்” பட்டம் பெற தொடர்ந்து உற்சாகம் தந்தார்.  சோன்யா அவ்வேளையில் பெர்லின் நகரில் வசித்து வந்தார்.

     சோனியா “ஏபெலின் இன்டக்ரல்” என்னும் தலைப்பில் தனது கணித ஆய்வுக் கட்டுரைகளைச் சமர்ப்பித்தார்.  1874ஆம் ஆண்டு சோன்யாவின் ஆய்வுக் கட்டுரைகளுக்காக டாக்டர் பட்டம் (Ph.D)  வழங்கப்பட்டது.  அவரது ஆய்சிக் கட்டுரைகள் “க்ரெல்” என்னும் பத்திரிக்கையில் வெளியிடப்பட்டன.

     வேற்றுமைச் சமன்பாட்டில் அவர் செய்த ஆய்வுகள் காச்சி – கோவலெவ்ஸ்காயா தேற்றம் என்னும்  (Cauchy – kovaleskaya Theorem) பெயரில் வெளியிடப்பட்டது.  சோன்யாவின் கணவர் விளாடிமிர் கோவலெவ்ஸ் காயாவும் டாக்கர் பட்டம் பெற்றார்.

     1874 ஆம் ஆண்டு சோன்யாவும் அவரது கணவரும் ரஷ்யாவுக்குத் திரும்பினர்.  ஜெர்மன் நாட்டில் டாக்டர் பட்டம் பெற்றிருந்தும், அவர்கள் அருவரும் ரஷ்யாவில் ஆரம்பப் பள்ளிக்கூடங்களிலேயே பாடம் நடத்த அனுமதிக்கப்பட்டனர்.  அவர்கள் சட்டக்கல்வி பயின்றாக வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டது.

     எனவே அவர்கள் சட்டத் தேர்வை எழுத முற்பட்டனர்.  விளாடிமிர் 1875 ஆம் ஆண்டே சட்டத் தேர்வில் வெற்றி பெற்றார்.  அதன் பிறகும் விளாடிமிருக்கு சரியான வேலை அமையவில்லை.

     இவ்வேளையில் சோன்யாவுக்கு “சோஃபியா” என்ற பெண் குழந்தை பிறந்தது.  அவர் 1881 ஆம் ஆண்டு தனது மகளுடன் பெர்லின் நகருக்கே திரும்பிச் சென்றார்.  கணவர் விளாடிமிர் மட்டும் ரஷ்யாவிலேயே தங்கிவிட்டார்.  சோன்யா பெர்லின் நகருக்கு வந்த சில நாட்களில் அவருக்கு ஒரு பெரிய அதிர்ச்சி காத்திருந்தது.  அவரது கணவர் விளாடிமிர் பொருளாதார நெருக்கடி காரணமாக தற்கொலை செய்து கொண்டதே அதிர்ச்சிக்குக் காரணம் ஆகும்.

     இருப்பினும் சோன்யா மனம் துவண்டுவிடவில்லை.  அவர் ஸ்வீடன் நாட்டின் தலைநகர் ஸ்டாக்ஹோம் நகருக்குச் சென்றார்.  அங்கே பெண்கள் உயர்கல்வி கற்க அனுமதிக்கப்பட்டனர்.

     அவ்விடத்தில் ”ஆக்டா” என்னும் பத்திரிகையின் ஆசிரியராக பொறுப்பேற்றார்.  அப்பத்திரிகையில் பணிபுரிந்து வந்தபோது அவருக்கு பல கணித நிபுணா்களோடு நட்பு ஏற்பட்டது.  ஸ்டாக்ஹொம் நகரில் சோன்யாவின் வாழ்க்கை மகிழ்ச்சிகரமாகவே நடந்தது.  மேலும் “ஹோக்ஸ்கோலா” என்னும் இடத்தில் ஒரு கல்விக்கூடத்தில் பேராசிரியராகப் பணிபுரியும் வாய்ப்பும் சோன்யாவுக்கும் கிடைத்தது.  அவ்வாறு புகழ்பெற்று விளங்கிய சோன்யா தனது 41வது வயதிலேயே காலமானார்.

குறிப்பு – படித்ததில் பிடித்தது

நூல்   - உலக கணித மேதைகள்

அகஸ்டின் காச்சி

                  

              

     

     அகஸ்டின் காச்சி பிரெஞ்சு நாட்டைச் சேர்ந்த கணிமமேதை ஆவார்.  கணிதத்தல் பல்வேறு கடினமான கண்டுபிடிப்புகளைக் கண்டறிந்து உலகிற்குக்கு கூறியவர் இவர்.

     காச்சி 1789 ஆம் ஆண்டு பாரீஸ் நகரத்தில் பிறந்தார்.  இவர் சிறுவயதிலேயே கணிதத்தில் ஆற்றலும் ஆர்வமும் கொண்டு விளங்கினார்.  இவரது கணித ஆற்றலைக் கண்டு வியந்த கணிதமேதை “லாக்ரேஞ்ஜ்” காச்சியின் கல்வியில் பெரிதும் அக்கறை கொண்டார்.

     காச்சி தனது 16 ஆவது வயதில் எகோல் பாலிடெக்னிக் கல்வி நிறுவனத்தில் சேர்ந்து, கட்டடக்கலை பொறியாளா் பட்டம் பெற்றார்.  1819 ஆம் ஆண்டு, தனது 18ஆவது வயதிலேயே உதவிப் பொறியாளராக உயர்ந்தார்.  அதன்பிறகு கப்பல்படைத்தளக் கட்டுமானப் பணிக்காக பாரீஸ் நகரத்திலிருந்து “செர்போர்க்” என்னும் நகருக்குச் சென்றார்.  அங்கு மூன்று ஆண்டுகள் தொடர்ந்து பணிபுரிந்த காச்சி, உடல்நிலை பாதிப்படைந்து மீண்டும் பாரீஸ் நகருக்கே திரும்பி வந்தார்.

     பாரீஸ் வந்தபிறகு இவர் பல கணித ஆராய்ச்சிகளில் ஈடுபட்டார்.  தனது கணித ஆராய்ச்சியின் விளைவாக 1812ஆம் ஆண்டு “ஒத்த அமைப்புடைய எண்களின் செயல்பாடுகள்” (symmetric function) பற்றிய கட்டுரை ஒன்றை வெளியிட்டார்.  இக்கட்டுரையே பின்னாளில் குழுஎண்களின் தோற்றத்திற்கு (Group theory) அடித்தளமாக அமைந்தது.

     காச்சிக்கு நாளடைவில் பொறியாளர் பணியில் சலிப்பு தோன்றியது.  அவர் தனக்கு ஆர்வமான கணிதத் துறையிலேயே பணி தேட ஆரம்பித்தார்.   அல்ஜீப்ரா சமன்பாடுகளின் எண்களைத் தீர்மானிக்கும் வழி முறைகள் பற்றி கற்றறிந்தார்.

     காச்சியின் ஆர்வத்திற்கு ஏற்ப, எதோல் பாலிடெக்னிக்கிலேயே அவருக்கு உதவிப் பேராசிரியா் பணி கிடைத்தது.  விரைவிலேயே அவர் இயந்திரவியல் துறையின் பேராசிரியராக பதவி உயர்வு பெற்றார்.

    அல்ஜீப்ராவில் தொடர்ந்து ஆராய்ச்சிகள் புரிந்து வந்த காச்சி, புதிய கருத்தொன்றை தனது ஊகத்தின் அடிப்படையில் கூறினார்.  அக்கருத்து, ”முழு எண்கள் தானாகவே கூட்டு எண்களாக தாறுவது போல, ஒடுங்கும் எண்களின் தொடரானது விரிவடையும் எண்களின் தொடராகவும் மாறும்” என்பதாகும்.

    காச்சியின் இக்கண்டுபிடிப்புகள் பின்னாளில் கூட்டு எண்களைப் பற்றி ஆராய்ச்சியில் ஈடுபட்ட பல கணித மேதைகளுக்கு உதவியாக அமைந்தது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

    இவர் 1825 ஆம் ஆண்டு “எக்ஸர்ஸைஸஸ் ஆன் மேத்தமேடிக்ஸ்” (Exercise on Mathematics) என்னும் மாத இதழ் ஒன்றை ஆரம்பித்து பயிற்சிகளை வெளியிட்டார்.  அப்பயிற்சிகள் ஐந்து பாகங்கள் வெளியாகின.  காச்சி தனது கணித ஆராய்ச்சியின் மூலமாக 17-ன் வர்க்க மூலத்தை பத்தின் பின்ன இலக்கங்களாகக் கண்டறியும் வழி முறையைக் கூறினார்.

     இவர் தனது வாழ்நாளில் மொத்தம் 789 கணித ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளை வெளியிட்டார்.  கூட்டு எண்களின் திறனறியும் நவீன கணிதத்தைப் பற்றிய பல உண்மைகளை அவர் கண்டறிந்து கூறினார்.  அவரது கணித ஆராய்ச்சியில் “பலகோணம்” என்னும் வடிவம் முக்கியத்துவம் பெற்றது.

     காச்சி கணிதத்தில் மட்டுமின்றி ஒரு சமூக சீர்திருத்தவாதியாகவும் விளங்கி, ஏழைகள், ஆண்களால் ஏமாற்றப்பட்ட பெண்கள் பலருக்கும் பல உதவிகள் செய்தார்.

    “திரவங்களில் அலைகளை ஊடுருவச் செய்தல்” பற்றிய ஆராய்ச்சிக்காக பிரெஞ்சு அகாடமி விருதைப் பெற்றார்.

குறிப்பு – படித்ததில் பிடித்தது

கணிதத்தில் வென்ற கிரேக்கர்..!!

கணினித்துறையில் இந்தியர்கள் சிறந்தவர்கள் என்பது பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட ஓர் உண்மை.கணினிக்கு அடிப்படை கணிதம் என்பதால் கணிதத்திலும் சிறந்தவர்கள் இந்தியர்கள் என்பதிலும் ஆர்ச்சரியமில்லை.கணிதத்துறையில்  இராமானுஜம் சிறந்த கணிதமேதையாக விளங்குகிறார்.இருந்தாலும் கணிதத்தில் பல்வேறுக் கூறுகளையும் வழிமுறைகளையும் பற்றி கூறியவர்கள் கிரேக்கர்கள் என்பது வரலாறு கூறும் உண்மை.பிளாட்டோ,அலெக்சாண்டர் போன்ற தத்துவமேதைகளை போன்று பல்வேறு சிந்தனையாளர்கள் தோன்றினர் கிரேக்க மண்ணில்.மூலக்கோட்பாடுகள் என்ற கணிதத்தொகுப்பு நூல் தான் உலகின் தோன்றிய முதல் பாடப் புத்தகம் ஆகும்.இந்த புத்தகத்தின் ஆசிரியரும் கணிதத்தின் தந்தையாகவும் போற்றப்படும் யூக்ளிட் பற்றி தான் இப்பதிவு அமையவுள்ளது.

யூக்ளின் இவரின் பிறப்பு மற்றும் இறப்பு பற்றிய குறிப்புகள் ஏதும் இல்லை.அநேகமாக கி.மு.325-ல் பிறந்து கி.மு.265-ல் அலெக்சாண்டிரியாவில் இறந்து போயிருக்கலாம் என்று ஒரு குறிப்பு கூறுகிறது.கணிதத்தில் மிக முக்கிய கோட்பாடுகளுள் ஒன்றான வடிவியல் கணிதத்தை தந்தவர் தான் யூக்ளிட் எனவே தான் அவரின் பெயர் வரலாற்றில் பேசப்பட்டு வருகிறது.யூக்ளிட், அலெக்சாண்டரின் காலத்தில் வாழ்ந்தவர் என்பதால் அலெக்சாண்டர் காலத்தில் இவருக்கு முன்பே தோன்றிய கணிதமேதைகள் பற்றி இவருக்கு தெரிந்தக்கூடும் அவர்கள் கி.மு 585-ல் வாழ்ந்த தேல்ஸ் மற்றும் மிலட்டஸ் என்பவர்கள்.அவர்களால் ஏற்கனவே பல்வேறு கூறுகள் ,தேற்றங்கள் மற்றும் ஆதாரங்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு உலகிற்கு தந்துள்ளனர் என்றாலும், அவற்றில் சிதறிக்கிடந்த அத்தனை கூறுகளையும் வழிமுறைகளையும் ஒருமுகப்படுத்தியும் ஒழுங்குப்படுத்தியும் எளிய உதாரணங்களால் எளிமைப்படுத்தி கொடுத்தவர் யூக்ளிட் தான்.அந்த நூல் தான் மூலக்கோட்பாடுகள் என்பது. இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளாக கணிதத்தில் மிகச் சிறந்த நூலாக அந்நூல் தான் திகழ்கிறது.யூக்ளின் எழுதிய வடிவியல் கணிதமும் எண் கணிதமும் எளிமையாகவும் உன்னதமாகவும் விளங்கியது.அவர் கிரேக்கத்தில் எழுதிய மூலக்கோட்பாடுகள் என்ற நூல் பல நூற்றாண்டுகளாக எழுத்துப்பிரதியில் இருந்தது.கடந்த 500 அண்டுகளுக்கு முன்பு 1500 பதிப்புகளில் இப்புத்தகம் வெளிவந்தது.பல்வேறு மொழியிலும் மொழிப்பெயர்க்கப்பட்டது.விஞ்ஞானிகளில் சிறந்த சர்.ஐசக் நியூட்டனின் சிறப்பு பெற்ற பிரென்ஸிபியா என்ற நூல் யூக்ளிட்டின் வடிவியல் கணதத்தின் அடிப்படையில் எழுதப்பட்டது என்பது சிறப்பு.

அறிவியலின் மொழியே கணிதம் தான்.அறிவியலில் எந்தவொரு கண்டுப்பிடிப்பும் அதன் முடிவுக்கு கணிதத்தை தான் அணுக வேண்டும்.எனவே கணிதத்தின் தந்தை என்று மட்டுமல்லாமல் அறிவியலின் தந்தை என்று யூக்ளிட்டை கூறினாலும் மிகையே அல்ல.யூக்ளிட் கணிதம் தவிர பிற துறையிலும் ஆராய்ந்து 13 நூல்களை எழுதியுள்ளார் அவற்றில் 3 நூல்கள் மட்டுமே பாதுகாப்பாக உள்ளது.

யூக்ளிட் ஆசிரியராக பணியாற்றும் போது ஒரு மாணவன் எழுந்து கணிதம் இதனை படித்தால் எனக்கு என்ன இலாபம் வரப் போகிறது ..??என்று கேட்டானாம்.அதற்கு உடனே யூக்ளிட் தனது பணியாளனே அழைத்து அந்த சிறுவன் ஏதோ இலாப நோக்கத்திற்கு வந்துள்ளான் அவனுக்கு ஏதாவது கொடுத்து வெளியே அனுப்பிவிடு என்றார் யூக்ளிட்.பிறகு அனைத்து மாணவர்களிடமும் யூக்ளிட் கல்வி என்பதும் ஒரு இலாபமே என்று கூறினார்.புதியவற்றைக் கற்றுக்கொள்வதும் ,தெரியாதவற்றை அறிந்துக் கொள்வதும் கல்வியின் இலாபம் என்றார்.யூக்ளிட்டின் வாழ்க்கை குறிப்பில் இருந்து எளிமையான இரண்டு உண்மைகள் புலப்படுகின்றனர்.அவைகளில் ஒன்று எப்போதும் ஏதேனும் ஒன்றை கற்றுக் கொண்டே இருக்க வேண்டும்.இரண்டு உழைப்புக்கு நிகரான பண்பு வேறு கிடையாது என்பதே அந்த உண்மைகள்.

கற்றவர்களுக்கு சென்ற இடமெல்லாம் சிறப்பு என்ற உண்மையை நாம் அனைவரும் அறிந்தும் தெரிந்தும் செயல்பட வேண்டும்.

லியோனார்டு ஃபிபொனாஸி

          

     லியோனார்டு ஃபிபொனாஸி இத்தாலி நாட்டில் பைசா நகரின் புகழ்பெற்ற அரசு அதிகாரி குடும்பமான பொனாஸி குடும்பத்தில் பிறந்தார்.  இவரது தந்தை அரசு அமைச்சராகப் பொறுப்பு வகித்தவர் ஆவார்.  அல்ஜீரியா நாட்டில் “புகியா” என்னும் இடத்தில் அமைந்திருந்த “பிஸா காலனி” என்ற இத்தாலி அமைப்பையும் நிர்வகித்து வந்தார்.

     லியோனார்டு ஃபிபொனாஸி தனது தந்தைக்கு உதவியாக கணக்கு வழக்குகளில் ஈடுபட்டு வந்தார்.  தொழில் ரீதியாக அவர் பல இடங்களுக்குச் சென்று வந்தார்.  குறிப்பாக மத்திய தரைக்கடல் பகுதிகளுக்குச் சென்று வந்தார்.

     எகிப்பு, சிசலி, சிரியா போன்ற பல்வேறு நாடுகளுக்கும் பயணம் செய்தார்.  அப்போது அந்நாட்டில் பயன்படுத்தப்பட்டு வந்த எண்களோடு, ரோம் எண்களையும் ஒப்பிட்டு பல ஆராய்ச்சிகளில் ஈடுபட்டார்.

     மற்ற நாடுகளில் உள்ள எண்முறைகளைவிட இந்தியாவில் பயன்படுத்தும் ஒற்றை வடிவமுள்ள எண்களே எளிதான எண் வடிவம் என்பது லியோனார்டு ஃபிபொனாஸியின் கருத்தாகும்.

     லியோனார்டு ஃபிபொனாஸியின் இக்கருத்துக்குப் பின் இந்தியாவிலுள்ள எண்களின் வடிவங்களிலும் சில மாற்றங்கள் ஏற்பட்டன.  நாம் இன்று அவ்வகை எண்களின் வடிவங்களைத்தான் பயன்படுத்தி வருகிறோம்.

      இந்துக்களின் தசம எண் (Decimal) முறைகளையும் இவா் பாராட்டியுள்ளார்.

     1202ஆம் ஆண்டு “லிபெல் அபாசி” என்னும் கணிதம் பற்றிய நூலை லத்தீன் மொழியில் எழுதினார்.  அதன் பிறகு 1220ஆம் ஆண்டு “செயல்முறை ஜியோமிதி” என்னும் நூலையும் தன் தாய்மொழியான லத்தீன் மொழியிலேயே எழுதியுள்ளார்.  இந்நூலில் இந்திய அல்ஜீப்ரா, எண் கணிதம் பற்றிய குறிப்புகள் அடங்கியுள்ளன.

     லியோனார்டு ஃபிபொனாஸி கண்டுபிடித்த மற்றொரு முக்கிய தொடர் எண் வாிசை 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,……. என்ற எண் வரிசையாகும்.

     இத்தொடர் எண்களை வரிசை அடிப்படையில் F_1, F_2, F_{3, ……..} என்று குறிப்பிடலாம்.

     இத்தொடரில் முதல் இரண்டு எண்களும் 1 ஆகும்.  மூன்றாவது எண் முதல் இரண்டு எண்களின் கூட்டுத் தொகை ஆகும்.  நான்காவது எண் மூன்றாவது, இரண்டாவது எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக அமையும்.  இப்படியாக இந்த தொடர் எண் வரிசை சென்று கொண்டிருக்கும்.

     F₁ = 1,     F₂ = 1

     F₃  = F₂+F₁ = 3

இப்படியாக,

     F_n = F_n-1 + F_n-2

ஃ பிபொனாஸி தேற்றம் 1

     ஃபிபொனாஸி தொடரில் தொடர்ந்து வரும் இரண்டு எண்களுக்குப் பொதுவான பண்புகள் ஏதும் இல்லை.  அவை முழு எண்களாக அமைந்திருக்கும்.  உதாரணம் – 13, 21.

ஃ பிபொனாஸி தேற்றம் 2  

      F₁ + F₂ + F₃ + ………F_n = F_n+2 – 1

உதாரணமாக, n=6 என்றால்,

     F₁ + F₂ + F₃ +…….. F₆ = 1+1+2+3+5+8 = 20   

     F_n+2 – 1 = 21-1 = 20

ஃ பிபொனாஸி தேற்றம் 3

      F_n-1 × F_n+1 – F_n² = (-1)ⁿ

உதாரணமாக, n=6 என்றால் 

      F_n-1 × F_n+1 – F_n² = F₅ × F₇ – F₆² = 5×13-8²

                                        =65- 64 =1 (or) = (-1)⁶

                   

குறிப்பு - படித்ததில் பிடித்தது.

நூல் - உலக கணித மேதைகள் 

கணித அறிஞர் ஜார்ஜ் கேன்டர்

    

                             

    

       ஜார்ஜ் கேன்டா் ஒரு ரஷ்ய கணிதமேதை ஆவார்.  இவர் 1845ஆம் ஆண்டு பிறந்தார்.  இவரது தந்தை “வோல்டுமா் கேன்டர், முதலில் கோபென்ஹகன் நகரைப் பூா்விகமாகக் கொண்டவா்.  எனினும் அவா் செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பா்க் நகருக்குக் குடிபெயர்ந்து, பங்கு சந்தை தரகராக பணியாற்றினார்.

     ஜார்ஜ் கேன்டர் சிறுவயதிலேயே கணிதம் மற்றும் அறிவியல் மீது அதிக ஆர்வம் கொண்டிருந்தார்.  கேன்டர் ரஷ்யாவிலிருந்து ஜெர்மனி நாட்டிற்குச் சென்றார்.  அங்குள்ள பெர்லின் பல்கலைக் கழகத்தில் கணிதம் கற்றார்.  1867ஆம் ஆண்டு டாக்டர் பட்டமும் பெற்றார்.

     ஆரம்ப காலத்தில் ஒரு சிறு பள்ளியில் ஆசிரியராகப் பணியைத் தொடங்கிய கேன்டர், பின்னாளில் லீப்சிக் அருகிலுள்ள ஹேல் பல்கழைக்கழகத்தில் பேராசிரியராகச் சேர்ந்தார்.

     கணிதத்தில் மிகவும் வேறுபட்டதும், முக்கியமானதாகவும் விளங்கும் தொடா்எண் தேற்றம் (Theory of sets) என்னும் புதிய வகைக் கணிதத்ததைக் கண்டறிந்தது உலகிற்குக் கூறினார்.

     பெர்லின் நகரில் வசித்தபோரு கேன்டர், எண் கணிதத் தேற்றத்தில் அதிக ஆர்வம் காட்டினார். ஹேல் நகரத்திற்குச் சென்றபின், அவரது கவனம் திரிகோணமிதி தொடரில் சென்றது.

    

     இதன் விளைவாக முடிவிலாத் தொடர்களிலுள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை, விகிதம் போன்றவற்றைப் பற்றிய உண்மைகளைக் கண்டறிந்தார்.  கேன்டரின் காலத்திற்கு முன்பு வரை முழு எண்களைப் (Real number) பற்றி உலகம் அறிந்திருக்கவில்லை என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

     தொடா்ந்து கணித ஆராய்ச்சியில் ஈடுபட்ட கேன்டர், தனது ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளை வெளியிட்டார்.  அவரது ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளில் ஒன்று கணித உலகில் ஒரு மைல்கல்லாக அமைந்தது.  அதுவே தொடா்எண் தேற்றமாகும்.

     1884ஆம் ஆண்டு பாரீஸ் சென்ற கேன்டர் பல கணிதமேதைகளைச் சந்தித்து, தனது புதிய கண்டுபிடிப்பைப் பற்றிக் கூறினார்.  ஆனால் பலரும் கேன்டரின் கண்டுபிடிப்பு ஆதாரமற்றதாகக் கூறி, அவரை விமர்சனம் செய்தனர்.

     ஆனால், அவரது முடிவிலித் தொடர் பற்றிய கண்டுபிடிப்புகள் ஆதாரமானவை என்று பின்னாளில் கணிதமேதைகள் விரைவிலேயே ஏற்றுக்கொண்டனா்.  “டிரான்ஸ்ஃயைனிட் எண்கள்” என்ற எண்களைக் கண்டறிந்து கூறிய கேன்டர், அவ்வெண்களுக்கும் “முடிவிலித் தொடருக்கும் (Infinite sets) உள்ள தொடர்பை விளக்கிக் கூறினார்.

     ஒரு தொடரிலுள்ள நேர்மறை எண்களின் (positive Integers) கூட்டுத்தொகை, அத்தொடரிலுள்ள முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகையினினிறும் வேறுபடும் என்பது கேன்டர் கண்டறிந்து கூறிய உண்மைகளாகும்.

    “இரு தொடர்களை எடுத்துக்கொண்டால், அவற்றில் ஒரு தொடரிலுள்ள ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிற்கும், மற்ற தொடரிலுள்ள ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிற்கும் தொடர்பு உண்டு” என்பதையும் கேன்டர் கண்டறிந்து கூறினார்.

     கணிதத்தில் பல்வேறு ஆராய்ச்சிகளை மேற்கொண்ட ஜார்ஜ் கேன்டர், தனது இறுதி நாட்களில் மனநலம் பாதிக்கப்பட்டு, ஹேல் நகரிலுள்ள மனநல மருத்துவனையில் 1918ஆம் ஆண்டு காலமானார்.  கேன்டரின் பல கணித கண்டுபிடிப்புகள், விஞ்ஞானத்திலும் பலவகைகளில் பயன்படுகிறது.

குறிப்பு - படித்ததில் பிடித்தது

நூல் -   உலக கணித மேதைகள் ப.எண் 81

கணிதமேதை ஜான்நேப்பியா்

    

           ஜான் நேப்பியர் ஸ்காட்லாந்தைச் சேர்ந்த கணித மேதை ஆவார்.  இவர் அச்நாட்டிலுள்ள எடின்பா்க் நகரின் அருகே அமைந்துள்ள “மொ்சிஸ்டன் காஸில்” என்னும் இடத்தில், 1550ஆம் ஆண்டு பிறந்தார். மேலும் இவரது காலம் கி.பி.1550-1617. 

     தன்னுடைய பதிமூன்றாவது வயதிலேயே ஆண்ட்ருஸ் பல்கழைக்கழத்தில் சேர்ந்தார்.  எனினும் அங்கு அவரால் படிப்பைத் தொடர முடியவில்லை.  அவா் பட்டம் எதுவும் பெறாமலே அக்கல்லூரியை விட்டு விலகினார்.

     நேப்பியர் அதன் பிறகு பல வெளிநாடுகளுக்குப் பயணம் சென்றார்.  1571ஆம் ஆண்டு தன் சொந்த ஊருக்கே திரும்பி வந்தார்.  1572ஆம் ஆண்டு நேப்பியரின் திருமணம் நடைபெற்றது.  ஆனால் அவரது மனைவி ஏழு ஆண்டுகளில் மரணம் அடைந்தார்.  எனவே அவர் மறுமணம் புரிந்தார்.

     நேப்பியர் கிறிஸ்தவ மதத்தில் அதிக நம்பிக்கை வைத்திருந்தார்.  அவர் ரோம் நகரிலுள்ள தேவாலயம் பற்றிய நூல் ஒன்றையும் எழுதினார்.

    

     நேப்பியரின் பெரும்பாலான வாழ்க்கை கணித ஆராய்ச்சியிலேயே கழிந்தது.  கூட்டல், கழித்தல், வர்க்க மூலத்தைக் கண்டறிதல் போன்றவற்றிற்குப் பயன்படும் கருவி ஒன்றை நேப்பியர் கண்டுபிடித்தார்.  அக்கருவி அவரது பெயரிலேயே “நேப்பியர் ராடு” என்று அழைக்கப்படுகிறது.

     கணித உலகில் “மடக்கை” (Logrithms) என்னும் பிரிவு மிகவும் முக்கியமானதாகும்.  அதனைக் கண்டுபிடித்த பெருமை நேப்பியரையே சாரும்.  நேப்பியர் இல்லையென்றால் கணித உலகிற்கு மடக்கை விதிகளும், மடக்கை அட்டவணையும் (Logrithm Table) கிடைத்திருக்காது.

   

       நேப்பியர் பின்ன எண்கள், அதிக இலக்க எண்கள் போன்றவற்றை பெருக்குவதற்கு, வகுப்பதற்கும் மடக்கை விதிகளைப் பயன்படுத்தி மிக விரைவாகவும், எளிதாகவும் விடைக் கண்டார்.  இன்றளவும் உலகெலுங்கிலு முள்ள பள்ளிகளில் மடக்கை விதிகளும், மடக்கை அட்டவணைகளும் பயன்பட்டு வருகின்றன.

     கணிப்பொறி உலகில் அறியப்படுவதற்கு முன் பெரும்பாலான கணக்கு வழக்குகளில் மடக்கை அட்டவணையே (Logrithm Table) பயன்படுத்தப்பட்டு வந்தது குறிப்பிடத்தக்கது.  இன்றைய கணினி யுகத்தில் கூட மடக்கை அட்டவணையின் முக்கியத்துவம் தவிர்க்க முடியாததாகும்.  ஏனெனில், மடக்கை அட்டவணை மிக எளிதானது மட்டுமின்றி, சிக்கனமானதும் ஆகும்.

     உதாரணமாக, இரு அதிக இலக்க எண்களைப் பெருக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.  அவ்வதிக இலக்க எண்களுக்கு மடக்கை அட்டவணையில் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்கள் தரப்பட்டிருக்கும்.  இரு அதிக இலக்க எண்களைப் பெருக்குவதற்கு அவ்வெண்களின் மடக்கை எண்களை அட்டவணை மூலம் கண்டறிந்து, அவற்றைக் கூட்டி, கிடைக்கப்பெறும் எண்ணிற்கு எதிர்மடக்கை எண்ணைக் (Antologrithm) கண்டால் அதுவே பெருக்குத் தொகை விடை ஆகும்.

     ஒரு குறிப்பிட்ட எண் “N” என்று வைத்துக் கொள்வோம்.  அதன் மடங்கைக் குறிக்கும் எண் “b” என்று வைத்துக்கொள்வோம்.  அவ்வெண்ணின் மடங்கைக் குறிக்கும் மடக்கை வாய்ப்பாடு, log_bN ஆகும்.

     கணிதத்தில் மடக்கை விதி (Logrithm) அதைக் கண்டுபிடித்த கணித மேதை நேப்பியரின் பெயரிலேயே அழைக்கப்படுவது நேப்பியருக்கு கிடைத்த பெருமையாகும்.

தொகுக்கப்பட்ட விவரங்களின் முகடு

           தொகுக்கப்பட்ட விவரங்களின் முகடு

இம்முறையில் முகடு கண்டறிய விவரங்களை ஏறுவரிசையில் எழுத வேண்டும். அதில் பெரிய மதிப்புக் கொண்ட பிரிவு, முகட்டுப் பிரிவு எனப்படுகிறது. இதில் உள்ள மாறியின் மதிப்பு முகடு எனப்படும்.

கூலி                                250       300      350       400     450     500

தொழிலாளர்களின்

எண்ணிக்கை

                   10   15   16    12   11   13

கூலி                   தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கை

250                  10

300                  15

350                    16

400                  12

450                  11

500                  13

மேற்கண்ட அட்டவணையில் இருந்து மிகப்பெரிய நிகழ்வெண் 16 ஆகும். இதற்கு ஏற்ற மாறியின் மதிப்பு 350

                           

                             முகடு = 350

வெப்பநிலை     36 32.4 34.6 36.9 38.7 40

நாட்களின்       7   2   6   4   8   3 முகடு காண்க

எண்ணிக்கை

நீல்ஸ் ஹென்ரிச் ஏபல்

  

      நீல்ஸ் ஹென்ரிச் ஏபல் நார்வே நாட்டில் தோன்றிய மிகச்சிறந்த கணிதமேதை மட்டுமின்றி, புகழ்பெற்ற மனிதரும் ஆவாா்.  ஆஸ்லோ நகாில் அமைந்துள்ள அரண்மனைத் தோட்டத்தில் ஏபலின் சிலை நிறுவப்பட்டுள்ளதே இதற்குச் சான்றாகும்.  இது சுற்றுலாப் பயணிகளுக்கு ஓர் அறிய காட்சிப் பொருளாக விளங்குகிறது.  ஸ்காண்டி நேவிய கணித மேதைகளுள் ஏபல் முதன்மையானவர்.


     “பெர்ன்ட் மிக்கேல் ஹாம்போ” என்னும் கணித ஆசிரியர் ஏபலின் கணித ஆசிரியராக விளங்கினார்.  இவர் ஏபலின் கணித அறிவைப் புரிந்துகொண்டு, கணிதத்தைக் கற்கும்படி அறிவுறுத்தினார்.  ஹாம்போவின் மேற்பார்வையில் ஏபல், மிகச்சிறந்த கணிதமேதைகளான லாக்ரேஞ்ஜ், லாப்லஸ், யூலர் போன்றோரின் கணிதங்களைக் கற்றுத் தேர்ந்தார்.  நீள்வளைய முழுமை (Elliptic Integrals) பற்றி ஏபல் கற்றறிந்தார்.  அது குறித்த கட்டுரை ஒன்றையும் எழுதினார்.
  
      1823ஆம் ஆண்டு கோபென்ஹேகன் நகருக்குச் சென்ற ஏபல், பல டேனிஷ் நாட்டு கணித மேதைகளைச் சந்தித்தார்.  பிறகு அங்கிருந்து கிறிஸ்டியானியா நகருக்குத் திரும்பி வந்தார்.  ஏபல், தான் ஏற்கனவே முயந்சி செய்த ஐந்தொகுதி சமன்பாடு (Quintic Equation) பற்றிய ஆராய்ச்சிகளை மேற்கொண்டார்.
  
      இக்காலகட்டத்தில் “அகங்ட் லியோபோல்டு க்ரெல்” என்பவா் இவரது முயற்சிகளை ஆதரித்து, புரவலராக (patron) ஆனாா்.  க்ரெல் ஒரு கட்டடப் பொறியாளராதலால் அவருக்கு கணிதத்தில் அதிக விருப்பம் ஏற்பட்டது.  அவர் தனிக்கணிதம் மற்றும் செயல்முறைக் கணிதம் பற்றிய பத்திரிக்கை ஒன்றை வெளியிட்டார்.   அதற்கு “க்ரெல் ஜர்னல்” எனப் பெயரிட்டார்.
  
      1826ஆம் ஆண்டு இவர்கள் இருவரும் நேரில் சந்தித்தனர்.  க்ரெல்லுடன் ஏபல் பல நாடுகளுக்குச் சென்றார்.  மேலை நாடுகளில் 2 ஆண்டுகள் படிப்பு முடிந்தபின் 1827-ல் கிறிஸ்டியான நகருக்குத் திரும்பினார்.
  
     கணிதத்தில் சிறந்த அறிவைப் பெற்றிருந்தும் ஏபலுக்கு சரியான வேலை எதுவும் கிட்டவில்லை.  இது தவிர அவருக்கு நிறையவே கடன் சுமையும் இருந்தது.
  
     அவர் பல மாணவர்களுக்கு கணிதம் கற்பிக்கத் தொடங்கினார்.  ஏபலின் கணிதக் கண்டுபிடிப்புகள் ஜெர்மன், பிரான்ஸ் போன்ற நாடுகளில் பெரிய வரவேற்பைப் பெற்றன.
    
      ஸ்டாக்ஹோம் அகாடமி ஏபலின் கணித அறிசை அங்கீகரித்தது.  டிராந்தியம் நகரில் அமைந்திருந்த நார்வேஜியன் ராயல் சொசைட்டி அமைப்பில் ஏபல் உறுப்பினராகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார்.
  
     1826ஆம் ஆண்டுக்குப் பின்பு ஏபல், உயிர் வாழ்ந்தது வெறும் மூன்று ஆண்டுகள் மட்டுமே.  ஏபலுக்கு காசநோய் ஏற்பட்டு, உடல்நிலை மிகவும் பலவீனமானது.  அந்நிலையிலும் அவர் தொடர்ந்து கணித ஆராய்ச்சிகளில் ஈடுபட்டு வந்தார்.  கணித ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகள் பலவற்றையும் எழுதினார். அவர் 1829ஆம் ஆண்டு, ஏப்ரல் 6ஆம் நாள் தனது 27ஆவது வயதில் இறந்தார்.
  
      ஏபலின் கணித அறிசைப் புரிந்து கொண்ட பெர்லின் பல்கலைகழகம் அவருக்கு பேராசிரியர் பணி தருவதாக செய்தி அனுப்பியது.  ஆனால், அச்செய்தி வருவதற்கு 2 நாட்கள் முன்பே, ஏபல் மறைந்தார்.

முகடு

                                முகடு

முகடு என்பது ஒரு மையப்போக்கு அளவாகும். எந்த மதிப்பு அதிக எண்ணிக்கையில் இருக்கிறதோ அதுவே முகடு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டாக நாம் ஒரு  கடைக்கு  போனால் எந்த என்ன செய்வோம், எந்த பொருள் அதிக அளவில் விற்பனை ஆகியுள்ளதோ அதையே நாமும் வாங்குவோம். அது தான் முகடு எனப்படும்.

2 4 5 2 1 2 3 4 4 6 2

முகடு = 2

நீங்க கேட்கலாம் 4 அதிக அளவில் வந்துள்ளது அதுவும் முகடுதானே என்று. ஆனால் எந்த மதிப்பு அதிக எண்ணிக்கையில் திரும்ப வந்துள்ளதோ அது மட்டுமே முகடு. இரண்டாவது மதிப்பை நாம் முகடாக எடுத்துக்கொள்ளமாட்டோம்.

1. 22 25 21 22 29 25 34 37 30 22 29 25 முகடு காண்க?

சி.ஆர்.ராவ்

கல்யம்புடி ராதாகிருஷ்ண ராவ் என்னும் இவா் புள்ளியல் நிபுணா் ஆவார்.  இவர் கா்நாடக மாநிலத்தில் பிறந்தார்.  ஆந்திராவிலுள்ள பல்வேறு நகரங்களில் பள்ளிப் படிப்பை முடித்தார்.  பிறகு, விசாகப்பட்டினம் கல்லூரியில் பட்டப்படிப்பை முடித்தார்.  அதன் பிறகு ஆந்திர பல்கழை கழகத்தில் எம்.ஏ கணிதம் பட்டம் பெற்றார்.

     இவருக்கு சிறுவயதிலிருந்தே புள்ளியயலின் மீது ஆர்வம் அதிகம்.  அதன் காரணமாக “மதிப்பீட்டுத் தேற்றத்”தைக் (theory of estimation) கண்டுபிடித்தார்.  மதிப்பீட்டுத் தேற்றத்தின் மூலம் சேமித்து வைத்துள்ள ஏராளமான தகவல்களிலிருந்து, ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு தகவல்களின் அளவுகளைக் கண்டறிய முடியும்.

     “கிரேம்ஸ் – ராவ் இனீக்குவாலிட்டி“, ஃபிஷர்-ராவ் தியரம், மற்றும் “ராவ்-பிளாக் வெலிசேஷன்” போன்ற ராவ் கண்டுபிடித்த சூத்திரங்களும், தேற்றங்களும் புள்ளியியல் பாடப் பிரிவில் பாடங்களாக அமைந்துள்ளன.

     புள்ளியியல் என்பது மனித விஞ்ஞானம் என்று ராவ் கருதினார்.  செங்கோண முக்கோணம் பற்றிய ராவின் ஆய்வுகள் பல தொழில் நிறுவனங்களில் உற்பத்தியைப் பெருக்குவதற்கு பயன்பட்டு வருகின்றன.

     இவரது கண்டுபிடிப்புகள் உயிரியலில் பல அளவுகளைக் கணக்கிட உதவுகின்றன.  உதாரணமாக பூ, இலை மற்றும் சிறு உயிரிகளின் நீள-அகலங்களையும் கணக்கிட உதவுகின்றன.

     மஹலானோபிஸ் என்னும் அறிஞர், ராவின் உயிரியல் அளவீடுகள், உயிரியல் அளவீட்டு அட்டவணைகள் போன்றவற்றை வியந்து கூறியுள்ளார்.

     சி.ஆர். ராவ் “சங்க்யா” என்னும் இந்திய புள்ளியியல் இதழின் ஆசிரியராகவும் பணியாற்றியுள்ளார்.

        குறிப்பு: படித்ததில் பிடித்தது

        நூல் :  உலக கணித மேதைகள்

தொகுக்கப்பட்ட விவரங்களுக்கு இடைநிலை காணல்

    தொகுக்கப்பட்ட விவரங்களுக்கு இடைநிலை காணல்

குவிவு நிகழ்வெண் (cumulative frequency)

     ஒரு நிகழ்வெண் பட்டியலில் குவிவு நிகழ்வெண் என்பது அந்தப் பிரிவு இடைவெளி வரை உள்ள நிகழ்வெண்களின் கூடுதல் ஆகும்.

50 மாணவர்கள் பெற்ற மதிப்பெண்களுக்கான இடைநிலை

மதிப்பெண்கள்  20 27 34 43 58 65 89

மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 2 4 6 11 12 8 7

                  

மதிப்பெண்        மாணவர்களின்எண்ணிக்கை           நிகழ்வெண் குவிவு

 20                                                                  2                                                                 2

27                                                                   4                                                             (2+4) =  6            

34                                                                   6                                                            (6+6) = 12

43                                                                  11                                                           (12+11) = 23

58                                                      12                                                 (23+12) =35                                                                                                

65                                                                   8                                                             (35+8) = 43

89                                                                   7                                                             (43+7) = 50

                                                                 N=50

                          N/2 = 50/2

                                

                                  = 25

இடைநிலை = (N/2) வது மதிப்பு = 25ஆவது உறுப்பின் மதிப்பு

ஆனால் 25 ஆவது உறுப்பு குவிவு நிகழ்வெண் நிரலில் உள்ள 35 என்ற இடத்தில் உள்ளது. இதற்குத் தொடர்பான மதிப்பு 58.

                       இடைநிலை = 58

சரியான இடைநிலை இல்லாவிடில் அடுத்து உள்ள முதல் மதிப்பை இடைநிலையாக எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்.

1.ஒரு வகுப்பிலுள்ள 50 மாணவர்களின் உயரங்களுக்கான இடைநிலை காண்க