ஆர். எல். மூர்.

                                                             

    1898ஆம் ஆண்டு டெக்ஸாஸ் பல்கலைக்கழகத்தில் சேர்ந்த இவர், 1901 ஆம் ஆண்டு பட்டம் பெற்றார்.  கணித மேதைகளுள் ஒருவரான ஜெ.ஜெ.சில்வெஸ்டரின் மாணவரான “ஹால்ஸ்டெட்” என்பவர் ஆர்.எல்.மூரின் ஆசிரியராக விளங்கினார்.

    ஹால்ஸ்டெட்டின் பரிந்துரையின் பேரில் மூா் 1903ஆம் ஆண்டு சிகாகோ பல்பலைக்கழகத்தின் மாணவரானத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார்.

     சிகாகோ பல்கலைகழத்தில் ஆராய்ச்சிகளில் ஈடுபட்டார்.  அந்தப் பல்கலைக்கழகம் ஆராய்ச்சிக்கு ஏற்ற சூழலுடன் அமைந்திருந்தது.

     மூர் சிகாகோ பல்கலைக்கழத்தில் 1905ஆம் ஆண்டு டாக்டர் பட்டம் பெற்றார்.  அதன் பிறகு டென்னஸி பல்கலைக்கழகத்தில் மேலும் ஓர் ஆண்டு பயிற்சியில் ஈடுபட்டார்.

     அங்கு ஆராய்ச்சிப் பணியில் ஈடுபட்டிருந்தபோது சேர்க்கை நுண்கணிதம் (Integration Calculus), அங்க கணிதம் (Arithmetics) ஆகியவற்றில் மூர் சான்றுகள் தேவைப்படாது வெளிப்படையான பல்வேறு உண்மைகளை எழுதி வெளியிட்டார்.

    அதன் பிறகு இரண்டு ஆண்டுகள் பிரின்ஸ்டன் கல்லூரியிலும் நார்த்-வெஸ்டர்ன் கல்லூரியிலும் பாடங்கள் நடத்தினார்.  இறுதியாக பென்சிவேனியா பல்கலைக்கழத்தில் பணிக்குச் சேர்ந்தார்.

    1919ஆம் ஆண்டு முதல் 1932ஆம் ஆண்டு வரை மூர் கணிதத்துறையில் ஆராய்ச்சிகள் செய்து, 38 ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளை எழுதினார்.  அக்கட்டுரைகள் ஃபவுண்டேஷன்ஸ் ஆஃப் பாயின்ட் செட் தியரி என்னும் நூலாக 1932ஆம் ஆண்டு வெளியிடப்பட்டது.

    1930ஆம் ஆண்டு முதல் அவர் ஆசிரியப் பணியில் ஆர்வம் காட்டி வந்தார்.  புதுமையான முறையில் பாடங்கள் நடத்தி, மாணவர்களை ஊக்குவித்தார்.  இதனால் அவரது புகழ் மேலும் வளர்ந்தது.

     1930ஆம் ஆண்டு வாஷிங்டன் தேசிய அறிவியல் கல்விக் கூடத்தின் உறுப்பினராகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மூர், 1938ஆம் ஆண்டு “அமெரிக்கன் மேத்தமேட்டிக்கல் சொஸைட்டியின்” தலைவராகப் பொறுப்பேற்றார்.

    இவ்வாறு கணிதத்துறைக்கு பல்வேறு பங்களிப்புகளைச் செய்த ஆர்.எல். மூர், 1974 ஆம் ஆண்டு மறைந்தார்.  பென்சில்வேனியா பல்கலைக்கழக மாணவர்கள் அவரை மிகச்சிறந்த கணிதப் பேராசிரியர் என்று புகழ்ந்தனர்.

குறிப்பு - படித்ததில் பிடித்தது

நூல்   - உலக கணித மேதைகள்

சோன்யா கோவலெவ்ஸ்காயா

                   

     சோன்யா 1850 ஆம் ஆண்டு ரஷ்யாவின் தலைநகரான மாஸ்கோவில் பிறந்தார்.  அவரது தந்தையின் மைத்துனர் ஒருவருக்கு கணிதத்தல் அதிக ஆர்வம் இருந்தது.  அதன் காரணமாக சோன்யாவுக்கும் கணிதத்தின் மீது ஆர்வம் ஏற்பட்டது.  அக்காலத்தில் ரஷ்யாவில் பெண்கள் அதிகம் கல்வி கற்கும் வழக்கம் இல்லை.

     நிக்கோலாய் நிகன்ரோவிச் டிர்டர் என்னும் கணித நிபுணர் எழுதிய நூலைப் படித்த சோன்யா, அந்நூலைப் பற்றிய மிகச்சிறந்த விமர்சனம் எழுதி அனுப்பினார்.  அதைப் படித்த நிகன்ரோவிச் வியந்தார்.  அவர் சோன்யாவின் கணித ஆற்றலைப் புரிந்து சோன்யாவைப் பாராட்டினார்.

     மேலும் அவர் சோன்யாவின் தந்தையைச் சந்தித்து, சோன்யாவுக்கு கணிதம் கற்பிக்க வேண்டும் என்று அவரது தந்தையை வற்புறுத்தினார்.  அதற்கு சோன்யாவின் தந்தையும் சம்மதித்தார்.  அவர் சோன்யாவிற்கு 17 வயது ஆகும்போது, தனிப்பட்ட முறையில் நுண்கணிதம் கற்பிக்க ஏற்பாடு செய்தார்.  சோன்யாவும் செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க் நகரில் நுண்கணிதத்தைச் சிறந்த முறையில் கற்றுக்கொண்டார்.  சோன்யா மேற்படிப்பு கற்க விரும்பினார்.

     அக்காலத்தில் ரஷ்யாவில் மேற்படிப்பு வசதிகள் இல்லை.  எனவே அவர் வெளிநாடு செல்ல தீர்மானித்தார்.  அதன் காரணமாக அவர் திருமணம் செய்துகொள்ள முன்வந்தார்.  சோன்யா, “விளாடிமிர் கோவலெவ்ஸ்காயா” என்பவரை திருமணம் செய்துகொண்டார்.

     அதற்குக் காரணம், விளாடிர் கோவலெவ்ஸ்காயா ஐரோப்பிய நாடுகளை அறிந்த ஒரு பதிப்பாளராகத் திகழ்ந்தார்.  அதன் பிறகு சோன்யாவின் பெயர் சோன்யா கோவலெவ்ஸ்காயா என்று மாறியது.

     சோன்யாவும் அவரது கணவரும் ஹைடில்பெர்க் நகருக்குப் பயணமானார்கள்.  அங்குள்ள பல்கலைக்கழகத்தில் கல்வி பயில இருவருக்கும் அனுமதி கிடைத்தது.  சோன்யா விஞ்ஞானிகளான “ஹெல்ம் போல்ட்ஸ், கிர்சாஃப்” போன்றோருடன் விஞ்ஞானம் பயின்றார்.  ”கோனிக்ஸ்பொர்கர்” என்னும் கணிதமேதையுடன் சேர்ந்து கணிதம் பயின்றார்.

     “வியர்ஸ்ட்ராஸ்” என்பவரின் மேற்பார்வையில் அவர் வேற்றுமைச் சமன்பாட்டில் (Differential Equations) கணித ஆய்வுகள் மேற்கொண்டார்.  வியர்ஸ்ட்ராஸ் சோன்யாவுக்கு “டாக்டர்” பட்டம் பெற தொடர்ந்து உற்சாகம் தந்தார்.  சோன்யா அவ்வேளையில் பெர்லின் நகரில் வசித்து வந்தார்.

     சோனியா “ஏபெலின் இன்டக்ரல்” என்னும் தலைப்பில் தனது கணித ஆய்வுக் கட்டுரைகளைச் சமர்ப்பித்தார்.  1874ஆம் ஆண்டு சோன்யாவின் ஆய்வுக் கட்டுரைகளுக்காக டாக்டர் பட்டம் (Ph.D)  வழங்கப்பட்டது.  அவரது ஆய்சிக் கட்டுரைகள் “க்ரெல்” என்னும் பத்திரிக்கையில் வெளியிடப்பட்டன.

     வேற்றுமைச் சமன்பாட்டில் அவர் செய்த ஆய்வுகள் காச்சி – கோவலெவ்ஸ்காயா தேற்றம் என்னும்  (Cauchy – kovaleskaya Theorem) பெயரில் வெளியிடப்பட்டது.  சோன்யாவின் கணவர் விளாடிமிர் கோவலெவ்ஸ் காயாவும் டாக்கர் பட்டம் பெற்றார்.

     1874 ஆம் ஆண்டு சோன்யாவும் அவரது கணவரும் ரஷ்யாவுக்குத் திரும்பினர்.  ஜெர்மன் நாட்டில் டாக்டர் பட்டம் பெற்றிருந்தும், அவர்கள் அருவரும் ரஷ்யாவில் ஆரம்பப் பள்ளிக்கூடங்களிலேயே பாடம் நடத்த அனுமதிக்கப்பட்டனர்.  அவர்கள் சட்டக்கல்வி பயின்றாக வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டது.

     எனவே அவர்கள் சட்டத் தேர்வை எழுத முற்பட்டனர்.  விளாடிமிர் 1875 ஆம் ஆண்டே சட்டத் தேர்வில் வெற்றி பெற்றார்.  அதன் பிறகும் விளாடிமிருக்கு சரியான வேலை அமையவில்லை.

     இவ்வேளையில் சோன்யாவுக்கு “சோஃபியா” என்ற பெண் குழந்தை பிறந்தது.  அவர் 1881 ஆம் ஆண்டு தனது மகளுடன் பெர்லின் நகருக்கே திரும்பிச் சென்றார்.  கணவர் விளாடிமிர் மட்டும் ரஷ்யாவிலேயே தங்கிவிட்டார்.  சோன்யா பெர்லின் நகருக்கு வந்த சில நாட்களில் அவருக்கு ஒரு பெரிய அதிர்ச்சி காத்திருந்தது.  அவரது கணவர் விளாடிமிர் பொருளாதார நெருக்கடி காரணமாக தற்கொலை செய்து கொண்டதே அதிர்ச்சிக்குக் காரணம் ஆகும்.

     இருப்பினும் சோன்யா மனம் துவண்டுவிடவில்லை.  அவர் ஸ்வீடன் நாட்டின் தலைநகர் ஸ்டாக்ஹோம் நகருக்குச் சென்றார்.  அங்கே பெண்கள் உயர்கல்வி கற்க அனுமதிக்கப்பட்டனர்.

     அவ்விடத்தில் ”ஆக்டா” என்னும் பத்திரிகையின் ஆசிரியராக பொறுப்பேற்றார்.  அப்பத்திரிகையில் பணிபுரிந்து வந்தபோது அவருக்கு பல கணித நிபுணா்களோடு நட்பு ஏற்பட்டது.  ஸ்டாக்ஹொம் நகரில் சோன்யாவின் வாழ்க்கை மகிழ்ச்சிகரமாகவே நடந்தது.  மேலும் “ஹோக்ஸ்கோலா” என்னும் இடத்தில் ஒரு கல்விக்கூடத்தில் பேராசிரியராகப் பணிபுரியும் வாய்ப்பும் சோன்யாவுக்கும் கிடைத்தது.  அவ்வாறு புகழ்பெற்று விளங்கிய சோன்யா தனது 41வது வயதிலேயே காலமானார்.

குறிப்பு – படித்ததில் பிடித்தது

நூல்   - உலக கணித மேதைகள்

அகஸ்டின் காச்சி

                  

              

     

     அகஸ்டின் காச்சி பிரெஞ்சு நாட்டைச் சேர்ந்த கணிமமேதை ஆவார்.  கணிதத்தல் பல்வேறு கடினமான கண்டுபிடிப்புகளைக் கண்டறிந்து உலகிற்குக்கு கூறியவர் இவர்.

     காச்சி 1789 ஆம் ஆண்டு பாரீஸ் நகரத்தில் பிறந்தார்.  இவர் சிறுவயதிலேயே கணிதத்தில் ஆற்றலும் ஆர்வமும் கொண்டு விளங்கினார்.  இவரது கணித ஆற்றலைக் கண்டு வியந்த கணிதமேதை “லாக்ரேஞ்ஜ்” காச்சியின் கல்வியில் பெரிதும் அக்கறை கொண்டார்.

     காச்சி தனது 16 ஆவது வயதில் எகோல் பாலிடெக்னிக் கல்வி நிறுவனத்தில் சேர்ந்து, கட்டடக்கலை பொறியாளா் பட்டம் பெற்றார்.  1819 ஆம் ஆண்டு, தனது 18ஆவது வயதிலேயே உதவிப் பொறியாளராக உயர்ந்தார்.  அதன்பிறகு கப்பல்படைத்தளக் கட்டுமானப் பணிக்காக பாரீஸ் நகரத்திலிருந்து “செர்போர்க்” என்னும் நகருக்குச் சென்றார்.  அங்கு மூன்று ஆண்டுகள் தொடர்ந்து பணிபுரிந்த காச்சி, உடல்நிலை பாதிப்படைந்து மீண்டும் பாரீஸ் நகருக்கே திரும்பி வந்தார்.

     பாரீஸ் வந்தபிறகு இவர் பல கணித ஆராய்ச்சிகளில் ஈடுபட்டார்.  தனது கணித ஆராய்ச்சியின் விளைவாக 1812ஆம் ஆண்டு “ஒத்த அமைப்புடைய எண்களின் செயல்பாடுகள்” (symmetric function) பற்றிய கட்டுரை ஒன்றை வெளியிட்டார்.  இக்கட்டுரையே பின்னாளில் குழுஎண்களின் தோற்றத்திற்கு (Group theory) அடித்தளமாக அமைந்தது.

     காச்சிக்கு நாளடைவில் பொறியாளர் பணியில் சலிப்பு தோன்றியது.  அவர் தனக்கு ஆர்வமான கணிதத் துறையிலேயே பணி தேட ஆரம்பித்தார்.   அல்ஜீப்ரா சமன்பாடுகளின் எண்களைத் தீர்மானிக்கும் வழி முறைகள் பற்றி கற்றறிந்தார்.

     காச்சியின் ஆர்வத்திற்கு ஏற்ப, எதோல் பாலிடெக்னிக்கிலேயே அவருக்கு உதவிப் பேராசிரியா் பணி கிடைத்தது.  விரைவிலேயே அவர் இயந்திரவியல் துறையின் பேராசிரியராக பதவி உயர்வு பெற்றார்.

    அல்ஜீப்ராவில் தொடர்ந்து ஆராய்ச்சிகள் புரிந்து வந்த காச்சி, புதிய கருத்தொன்றை தனது ஊகத்தின் அடிப்படையில் கூறினார்.  அக்கருத்து, ”முழு எண்கள் தானாகவே கூட்டு எண்களாக தாறுவது போல, ஒடுங்கும் எண்களின் தொடரானது விரிவடையும் எண்களின் தொடராகவும் மாறும்” என்பதாகும்.

    காச்சியின் இக்கண்டுபிடிப்புகள் பின்னாளில் கூட்டு எண்களைப் பற்றி ஆராய்ச்சியில் ஈடுபட்ட பல கணித மேதைகளுக்கு உதவியாக அமைந்தது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

    இவர் 1825 ஆம் ஆண்டு “எக்ஸர்ஸைஸஸ் ஆன் மேத்தமேடிக்ஸ்” (Exercise on Mathematics) என்னும் மாத இதழ் ஒன்றை ஆரம்பித்து பயிற்சிகளை வெளியிட்டார்.  அப்பயிற்சிகள் ஐந்து பாகங்கள் வெளியாகின.  காச்சி தனது கணித ஆராய்ச்சியின் மூலமாக 17-ன் வர்க்க மூலத்தை பத்தின் பின்ன இலக்கங்களாகக் கண்டறியும் வழி முறையைக் கூறினார்.

     இவர் தனது வாழ்நாளில் மொத்தம் 789 கணித ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளை வெளியிட்டார்.  கூட்டு எண்களின் திறனறியும் நவீன கணிதத்தைப் பற்றிய பல உண்மைகளை அவர் கண்டறிந்து கூறினார்.  அவரது கணித ஆராய்ச்சியில் “பலகோணம்” என்னும் வடிவம் முக்கியத்துவம் பெற்றது.

     காச்சி கணிதத்தில் மட்டுமின்றி ஒரு சமூக சீர்திருத்தவாதியாகவும் விளங்கி, ஏழைகள், ஆண்களால் ஏமாற்றப்பட்ட பெண்கள் பலருக்கும் பல உதவிகள் செய்தார்.

    “திரவங்களில் அலைகளை ஊடுருவச் செய்தல்” பற்றிய ஆராய்ச்சிக்காக பிரெஞ்சு அகாடமி விருதைப் பெற்றார்.

குறிப்பு – படித்ததில் பிடித்தது

லியோனார்டு ஃபிபொனாஸி

          

     லியோனார்டு ஃபிபொனாஸி இத்தாலி நாட்டில் பைசா நகரின் புகழ்பெற்ற அரசு அதிகாரி குடும்பமான பொனாஸி குடும்பத்தில் பிறந்தார்.  இவரது தந்தை அரசு அமைச்சராகப் பொறுப்பு வகித்தவர் ஆவார்.  அல்ஜீரியா நாட்டில் “புகியா” என்னும் இடத்தில் அமைந்திருந்த “பிஸா காலனி” என்ற இத்தாலி அமைப்பையும் நிர்வகித்து வந்தார்.

     லியோனார்டு ஃபிபொனாஸி தனது தந்தைக்கு உதவியாக கணக்கு வழக்குகளில் ஈடுபட்டு வந்தார்.  தொழில் ரீதியாக அவர் பல இடங்களுக்குச் சென்று வந்தார்.  குறிப்பாக மத்திய தரைக்கடல் பகுதிகளுக்குச் சென்று வந்தார்.

     எகிப்பு, சிசலி, சிரியா போன்ற பல்வேறு நாடுகளுக்கும் பயணம் செய்தார்.  அப்போது அந்நாட்டில் பயன்படுத்தப்பட்டு வந்த எண்களோடு, ரோம் எண்களையும் ஒப்பிட்டு பல ஆராய்ச்சிகளில் ஈடுபட்டார்.

     மற்ற நாடுகளில் உள்ள எண்முறைகளைவிட இந்தியாவில் பயன்படுத்தும் ஒற்றை வடிவமுள்ள எண்களே எளிதான எண் வடிவம் என்பது லியோனார்டு ஃபிபொனாஸியின் கருத்தாகும்.

     லியோனார்டு ஃபிபொனாஸியின் இக்கருத்துக்குப் பின் இந்தியாவிலுள்ள எண்களின் வடிவங்களிலும் சில மாற்றங்கள் ஏற்பட்டன.  நாம் இன்று அவ்வகை எண்களின் வடிவங்களைத்தான் பயன்படுத்தி வருகிறோம்.

      இந்துக்களின் தசம எண் (Decimal) முறைகளையும் இவா் பாராட்டியுள்ளார்.

     1202ஆம் ஆண்டு “லிபெல் அபாசி” என்னும் கணிதம் பற்றிய நூலை லத்தீன் மொழியில் எழுதினார்.  அதன் பிறகு 1220ஆம் ஆண்டு “செயல்முறை ஜியோமிதி” என்னும் நூலையும் தன் தாய்மொழியான லத்தீன் மொழியிலேயே எழுதியுள்ளார்.  இந்நூலில் இந்திய அல்ஜீப்ரா, எண் கணிதம் பற்றிய குறிப்புகள் அடங்கியுள்ளன.

     லியோனார்டு ஃபிபொனாஸி கண்டுபிடித்த மற்றொரு முக்கிய தொடர் எண் வாிசை 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,……. என்ற எண் வரிசையாகும்.

     இத்தொடர் எண்களை வரிசை அடிப்படையில் F_1, F_2, F_{3, ……..} என்று குறிப்பிடலாம்.

     இத்தொடரில் முதல் இரண்டு எண்களும் 1 ஆகும்.  மூன்றாவது எண் முதல் இரண்டு எண்களின் கூட்டுத் தொகை ஆகும்.  நான்காவது எண் மூன்றாவது, இரண்டாவது எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக அமையும்.  இப்படியாக இந்த தொடர் எண் வரிசை சென்று கொண்டிருக்கும்.

     F₁ = 1,     F₂ = 1

     F₃  = F₂+F₁ = 3

இப்படியாக,

     F_n = F_n-1 + F_n-2

ஃ பிபொனாஸி தேற்றம் 1

     ஃபிபொனாஸி தொடரில் தொடர்ந்து வரும் இரண்டு எண்களுக்குப் பொதுவான பண்புகள் ஏதும் இல்லை.  அவை முழு எண்களாக அமைந்திருக்கும்.  உதாரணம் – 13, 21.

ஃ பிபொனாஸி தேற்றம் 2  

      F₁ + F₂ + F₃ + ………F_n = F_n+2 – 1

உதாரணமாக, n=6 என்றால்,

     F₁ + F₂ + F₃ +…….. F₆ = 1+1+2+3+5+8 = 20   

     F_n+2 – 1 = 21-1 = 20

ஃ பிபொனாஸி தேற்றம் 3

      F_n-1 × F_n+1 – F_n² = (-1)ⁿ

உதாரணமாக, n=6 என்றால் 

      F_n-1 × F_n+1 – F_n² = F₅ × F₇ – F₆² = 5×13-8²

                                        =65- 64 =1 (or) = (-1)⁶

                   

குறிப்பு - படித்ததில் பிடித்தது.

நூல் - உலக கணித மேதைகள் 

கணித அறிஞர் ஜார்ஜ் கேன்டர்

    

                             

    

       ஜார்ஜ் கேன்டா் ஒரு ரஷ்ய கணிதமேதை ஆவார்.  இவர் 1845ஆம் ஆண்டு பிறந்தார்.  இவரது தந்தை “வோல்டுமா் கேன்டர், முதலில் கோபென்ஹகன் நகரைப் பூா்விகமாகக் கொண்டவா்.  எனினும் அவா் செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பா்க் நகருக்குக் குடிபெயர்ந்து, பங்கு சந்தை தரகராக பணியாற்றினார்.

     ஜார்ஜ் கேன்டர் சிறுவயதிலேயே கணிதம் மற்றும் அறிவியல் மீது அதிக ஆர்வம் கொண்டிருந்தார்.  கேன்டர் ரஷ்யாவிலிருந்து ஜெர்மனி நாட்டிற்குச் சென்றார்.  அங்குள்ள பெர்லின் பல்கலைக் கழகத்தில் கணிதம் கற்றார்.  1867ஆம் ஆண்டு டாக்டர் பட்டமும் பெற்றார்.

     ஆரம்ப காலத்தில் ஒரு சிறு பள்ளியில் ஆசிரியராகப் பணியைத் தொடங்கிய கேன்டர், பின்னாளில் லீப்சிக் அருகிலுள்ள ஹேல் பல்கழைக்கழகத்தில் பேராசிரியராகச் சேர்ந்தார்.

     கணிதத்தில் மிகவும் வேறுபட்டதும், முக்கியமானதாகவும் விளங்கும் தொடா்எண் தேற்றம் (Theory of sets) என்னும் புதிய வகைக் கணிதத்ததைக் கண்டறிந்தது உலகிற்குக் கூறினார்.

     பெர்லின் நகரில் வசித்தபோரு கேன்டர், எண் கணிதத் தேற்றத்தில் அதிக ஆர்வம் காட்டினார். ஹேல் நகரத்திற்குச் சென்றபின், அவரது கவனம் திரிகோணமிதி தொடரில் சென்றது.

    

     இதன் விளைவாக முடிவிலாத் தொடர்களிலுள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை, விகிதம் போன்றவற்றைப் பற்றிய உண்மைகளைக் கண்டறிந்தார்.  கேன்டரின் காலத்திற்கு முன்பு வரை முழு எண்களைப் (Real number) பற்றி உலகம் அறிந்திருக்கவில்லை என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

     தொடா்ந்து கணித ஆராய்ச்சியில் ஈடுபட்ட கேன்டர், தனது ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளை வெளியிட்டார்.  அவரது ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளில் ஒன்று கணித உலகில் ஒரு மைல்கல்லாக அமைந்தது.  அதுவே தொடா்எண் தேற்றமாகும்.

     1884ஆம் ஆண்டு பாரீஸ் சென்ற கேன்டர் பல கணிதமேதைகளைச் சந்தித்து, தனது புதிய கண்டுபிடிப்பைப் பற்றிக் கூறினார்.  ஆனால் பலரும் கேன்டரின் கண்டுபிடிப்பு ஆதாரமற்றதாகக் கூறி, அவரை விமர்சனம் செய்தனர்.

     ஆனால், அவரது முடிவிலித் தொடர் பற்றிய கண்டுபிடிப்புகள் ஆதாரமானவை என்று பின்னாளில் கணிதமேதைகள் விரைவிலேயே ஏற்றுக்கொண்டனா்.  “டிரான்ஸ்ஃயைனிட் எண்கள்” என்ற எண்களைக் கண்டறிந்து கூறிய கேன்டர், அவ்வெண்களுக்கும் “முடிவிலித் தொடருக்கும் (Infinite sets) உள்ள தொடர்பை விளக்கிக் கூறினார்.

     ஒரு தொடரிலுள்ள நேர்மறை எண்களின் (positive Integers) கூட்டுத்தொகை, அத்தொடரிலுள்ள முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகையினினிறும் வேறுபடும் என்பது கேன்டர் கண்டறிந்து கூறிய உண்மைகளாகும்.

    “இரு தொடர்களை எடுத்துக்கொண்டால், அவற்றில் ஒரு தொடரிலுள்ள ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிற்கும், மற்ற தொடரிலுள்ள ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிற்கும் தொடர்பு உண்டு” என்பதையும் கேன்டர் கண்டறிந்து கூறினார்.

     கணிதத்தில் பல்வேறு ஆராய்ச்சிகளை மேற்கொண்ட ஜார்ஜ் கேன்டர், தனது இறுதி நாட்களில் மனநலம் பாதிக்கப்பட்டு, ஹேல் நகரிலுள்ள மனநல மருத்துவனையில் 1918ஆம் ஆண்டு காலமானார்.  கேன்டரின் பல கணித கண்டுபிடிப்புகள், விஞ்ஞானத்திலும் பலவகைகளில் பயன்படுகிறது.

குறிப்பு - படித்ததில் பிடித்தது

நூல் -   உலக கணித மேதைகள் ப.எண் 81

கணிதமேதை ஜான்நேப்பியா்

    

           ஜான் நேப்பியர் ஸ்காட்லாந்தைச் சேர்ந்த கணித மேதை ஆவார்.  இவர் அச்நாட்டிலுள்ள எடின்பா்க் நகரின் அருகே அமைந்துள்ள “மொ்சிஸ்டன் காஸில்” என்னும் இடத்தில், 1550ஆம் ஆண்டு பிறந்தார். மேலும் இவரது காலம் கி.பி.1550-1617. 

     தன்னுடைய பதிமூன்றாவது வயதிலேயே ஆண்ட்ருஸ் பல்கழைக்கழத்தில் சேர்ந்தார்.  எனினும் அங்கு அவரால் படிப்பைத் தொடர முடியவில்லை.  அவா் பட்டம் எதுவும் பெறாமலே அக்கல்லூரியை விட்டு விலகினார்.

     நேப்பியர் அதன் பிறகு பல வெளிநாடுகளுக்குப் பயணம் சென்றார்.  1571ஆம் ஆண்டு தன் சொந்த ஊருக்கே திரும்பி வந்தார்.  1572ஆம் ஆண்டு நேப்பியரின் திருமணம் நடைபெற்றது.  ஆனால் அவரது மனைவி ஏழு ஆண்டுகளில் மரணம் அடைந்தார்.  எனவே அவர் மறுமணம் புரிந்தார்.

     நேப்பியர் கிறிஸ்தவ மதத்தில் அதிக நம்பிக்கை வைத்திருந்தார்.  அவர் ரோம் நகரிலுள்ள தேவாலயம் பற்றிய நூல் ஒன்றையும் எழுதினார்.

    

     நேப்பியரின் பெரும்பாலான வாழ்க்கை கணித ஆராய்ச்சியிலேயே கழிந்தது.  கூட்டல், கழித்தல், வர்க்க மூலத்தைக் கண்டறிதல் போன்றவற்றிற்குப் பயன்படும் கருவி ஒன்றை நேப்பியர் கண்டுபிடித்தார்.  அக்கருவி அவரது பெயரிலேயே “நேப்பியர் ராடு” என்று அழைக்கப்படுகிறது.

     கணித உலகில் “மடக்கை” (Logrithms) என்னும் பிரிவு மிகவும் முக்கியமானதாகும்.  அதனைக் கண்டுபிடித்த பெருமை நேப்பியரையே சாரும்.  நேப்பியர் இல்லையென்றால் கணித உலகிற்கு மடக்கை விதிகளும், மடக்கை அட்டவணையும் (Logrithm Table) கிடைத்திருக்காது.

   

       நேப்பியர் பின்ன எண்கள், அதிக இலக்க எண்கள் போன்றவற்றை பெருக்குவதற்கு, வகுப்பதற்கும் மடக்கை விதிகளைப் பயன்படுத்தி மிக விரைவாகவும், எளிதாகவும் விடைக் கண்டார்.  இன்றளவும் உலகெலுங்கிலு முள்ள பள்ளிகளில் மடக்கை விதிகளும், மடக்கை அட்டவணைகளும் பயன்பட்டு வருகின்றன.

     கணிப்பொறி உலகில் அறியப்படுவதற்கு முன் பெரும்பாலான கணக்கு வழக்குகளில் மடக்கை அட்டவணையே (Logrithm Table) பயன்படுத்தப்பட்டு வந்தது குறிப்பிடத்தக்கது.  இன்றைய கணினி யுகத்தில் கூட மடக்கை அட்டவணையின் முக்கியத்துவம் தவிர்க்க முடியாததாகும்.  ஏனெனில், மடக்கை அட்டவணை மிக எளிதானது மட்டுமின்றி, சிக்கனமானதும் ஆகும்.

     உதாரணமாக, இரு அதிக இலக்க எண்களைப் பெருக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.  அவ்வதிக இலக்க எண்களுக்கு மடக்கை அட்டவணையில் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்கள் தரப்பட்டிருக்கும்.  இரு அதிக இலக்க எண்களைப் பெருக்குவதற்கு அவ்வெண்களின் மடக்கை எண்களை அட்டவணை மூலம் கண்டறிந்து, அவற்றைக் கூட்டி, கிடைக்கப்பெறும் எண்ணிற்கு எதிர்மடக்கை எண்ணைக் (Antologrithm) கண்டால் அதுவே பெருக்குத் தொகை விடை ஆகும்.

     ஒரு குறிப்பிட்ட எண் “N” என்று வைத்துக் கொள்வோம்.  அதன் மடங்கைக் குறிக்கும் எண் “b” என்று வைத்துக்கொள்வோம்.  அவ்வெண்ணின் மடங்கைக் குறிக்கும் மடக்கை வாய்ப்பாடு, log_bN ஆகும்.

     கணிதத்தில் மடக்கை விதி (Logrithm) அதைக் கண்டுபிடித்த கணித மேதை நேப்பியரின் பெயரிலேயே அழைக்கப்படுவது நேப்பியருக்கு கிடைத்த பெருமையாகும்.

நீல்ஸ் ஹென்ரிச் ஏபல்

  

      நீல்ஸ் ஹென்ரிச் ஏபல் நார்வே நாட்டில் தோன்றிய மிகச்சிறந்த கணிதமேதை மட்டுமின்றி, புகழ்பெற்ற மனிதரும் ஆவாா்.  ஆஸ்லோ நகாில் அமைந்துள்ள அரண்மனைத் தோட்டத்தில் ஏபலின் சிலை நிறுவப்பட்டுள்ளதே இதற்குச் சான்றாகும்.  இது சுற்றுலாப் பயணிகளுக்கு ஓர் அறிய காட்சிப் பொருளாக விளங்குகிறது.  ஸ்காண்டி நேவிய கணித மேதைகளுள் ஏபல் முதன்மையானவர்.


     “பெர்ன்ட் மிக்கேல் ஹாம்போ” என்னும் கணித ஆசிரியர் ஏபலின் கணித ஆசிரியராக விளங்கினார்.  இவர் ஏபலின் கணித அறிவைப் புரிந்துகொண்டு, கணிதத்தைக் கற்கும்படி அறிவுறுத்தினார்.  ஹாம்போவின் மேற்பார்வையில் ஏபல், மிகச்சிறந்த கணிதமேதைகளான லாக்ரேஞ்ஜ், லாப்லஸ், யூலர் போன்றோரின் கணிதங்களைக் கற்றுத் தேர்ந்தார்.  நீள்வளைய முழுமை (Elliptic Integrals) பற்றி ஏபல் கற்றறிந்தார்.  அது குறித்த கட்டுரை ஒன்றையும் எழுதினார்.
  
      1823ஆம் ஆண்டு கோபென்ஹேகன் நகருக்குச் சென்ற ஏபல், பல டேனிஷ் நாட்டு கணித மேதைகளைச் சந்தித்தார்.  பிறகு அங்கிருந்து கிறிஸ்டியானியா நகருக்குத் திரும்பி வந்தார்.  ஏபல், தான் ஏற்கனவே முயந்சி செய்த ஐந்தொகுதி சமன்பாடு (Quintic Equation) பற்றிய ஆராய்ச்சிகளை மேற்கொண்டார்.
  
      இக்காலகட்டத்தில் “அகங்ட் லியோபோல்டு க்ரெல்” என்பவா் இவரது முயற்சிகளை ஆதரித்து, புரவலராக (patron) ஆனாா்.  க்ரெல் ஒரு கட்டடப் பொறியாளராதலால் அவருக்கு கணிதத்தில் அதிக விருப்பம் ஏற்பட்டது.  அவர் தனிக்கணிதம் மற்றும் செயல்முறைக் கணிதம் பற்றிய பத்திரிக்கை ஒன்றை வெளியிட்டார்.   அதற்கு “க்ரெல் ஜர்னல்” எனப் பெயரிட்டார்.
  
      1826ஆம் ஆண்டு இவர்கள் இருவரும் நேரில் சந்தித்தனர்.  க்ரெல்லுடன் ஏபல் பல நாடுகளுக்குச் சென்றார்.  மேலை நாடுகளில் 2 ஆண்டுகள் படிப்பு முடிந்தபின் 1827-ல் கிறிஸ்டியான நகருக்குத் திரும்பினார்.
  
     கணிதத்தில் சிறந்த அறிவைப் பெற்றிருந்தும் ஏபலுக்கு சரியான வேலை எதுவும் கிட்டவில்லை.  இது தவிர அவருக்கு நிறையவே கடன் சுமையும் இருந்தது.
  
     அவர் பல மாணவர்களுக்கு கணிதம் கற்பிக்கத் தொடங்கினார்.  ஏபலின் கணிதக் கண்டுபிடிப்புகள் ஜெர்மன், பிரான்ஸ் போன்ற நாடுகளில் பெரிய வரவேற்பைப் பெற்றன.
    
      ஸ்டாக்ஹோம் அகாடமி ஏபலின் கணித அறிசை அங்கீகரித்தது.  டிராந்தியம் நகரில் அமைந்திருந்த நார்வேஜியன் ராயல் சொசைட்டி அமைப்பில் ஏபல் உறுப்பினராகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார்.
  
     1826ஆம் ஆண்டுக்குப் பின்பு ஏபல், உயிர் வாழ்ந்தது வெறும் மூன்று ஆண்டுகள் மட்டுமே.  ஏபலுக்கு காசநோய் ஏற்பட்டு, உடல்நிலை மிகவும் பலவீனமானது.  அந்நிலையிலும் அவர் தொடர்ந்து கணித ஆராய்ச்சிகளில் ஈடுபட்டு வந்தார்.  கணித ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகள் பலவற்றையும் எழுதினார். அவர் 1829ஆம் ஆண்டு, ஏப்ரல் 6ஆம் நாள் தனது 27ஆவது வயதில் இறந்தார்.
  
      ஏபலின் கணித அறிசைப் புரிந்து கொண்ட பெர்லின் பல்கலைகழகம் அவருக்கு பேராசிரியர் பணி தருவதாக செய்தி அனுப்பியது.  ஆனால், அச்செய்தி வருவதற்கு 2 நாட்கள் முன்பே, ஏபல் மறைந்தார்.

சி.ஆர்.ராவ்

கல்யம்புடி ராதாகிருஷ்ண ராவ் என்னும் இவா் புள்ளியல் நிபுணா் ஆவார்.  இவர் கா்நாடக மாநிலத்தில் பிறந்தார்.  ஆந்திராவிலுள்ள பல்வேறு நகரங்களில் பள்ளிப் படிப்பை முடித்தார்.  பிறகு, விசாகப்பட்டினம் கல்லூரியில் பட்டப்படிப்பை முடித்தார்.  அதன் பிறகு ஆந்திர பல்கழை கழகத்தில் எம்.ஏ கணிதம் பட்டம் பெற்றார்.

     இவருக்கு சிறுவயதிலிருந்தே புள்ளியயலின் மீது ஆர்வம் அதிகம்.  அதன் காரணமாக “மதிப்பீட்டுத் தேற்றத்”தைக் (theory of estimation) கண்டுபிடித்தார்.  மதிப்பீட்டுத் தேற்றத்தின் மூலம் சேமித்து வைத்துள்ள ஏராளமான தகவல்களிலிருந்து, ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு தகவல்களின் அளவுகளைக் கண்டறிய முடியும்.

     “கிரேம்ஸ் – ராவ் இனீக்குவாலிட்டி“, ஃபிஷர்-ராவ் தியரம், மற்றும் “ராவ்-பிளாக் வெலிசேஷன்” போன்ற ராவ் கண்டுபிடித்த சூத்திரங்களும், தேற்றங்களும் புள்ளியியல் பாடப் பிரிவில் பாடங்களாக அமைந்துள்ளன.

     புள்ளியியல் என்பது மனித விஞ்ஞானம் என்று ராவ் கருதினார்.  செங்கோண முக்கோணம் பற்றிய ராவின் ஆய்வுகள் பல தொழில் நிறுவனங்களில் உற்பத்தியைப் பெருக்குவதற்கு பயன்பட்டு வருகின்றன.

     இவரது கண்டுபிடிப்புகள் உயிரியலில் பல அளவுகளைக் கணக்கிட உதவுகின்றன.  உதாரணமாக பூ, இலை மற்றும் சிறு உயிரிகளின் நீள-அகலங்களையும் கணக்கிட உதவுகின்றன.

     மஹலானோபிஸ் என்னும் அறிஞர், ராவின் உயிரியல் அளவீடுகள், உயிரியல் அளவீட்டு அட்டவணைகள் போன்றவற்றை வியந்து கூறியுள்ளார்.

     சி.ஆர். ராவ் “சங்க்யா” என்னும் இந்திய புள்ளியியல் இதழின் ஆசிரியராகவும் பணியாற்றியுள்ளார்.

        குறிப்பு: படித்ததில் பிடித்தது

        நூல் :  உலக கணித மேதைகள்

கணித மேதை யூக்ளிட்

 கி.மு 300 ஆம் ஆண்டைச் சேர்ந்தவர் யூக்ளிட் ஆவார்.  இவரே ஜியோமிதி (GEOMETRY) கணிதத்தின் தந்தை என்றும் அழைக்கப்படுகிறார். 

      யூக்ளிட் உருவாக்கிய ஜியோமிதியின் அடிப்படையிலேயே இன்றும் ஜியோமிதி கற்பிக்கப்பட்டு வருகின்றது.  எதிர்காலத்திலும் கற்பிக்கப்படும்.

     அவர் ஜியோமிதி விதிகளை 13 புத்தகங்களாக எழுதி வைத்தார்.  யூக்ளிட்டைப் பற்றிய வரலாற்றுத் தகவல்கள் ஏதும் பெரிய அளவில் கிடைக்கவில்லை.  அவர் அலெக்ஸாண்டிரியா நாட்டைச் சேர்ந்தவர் என்பது மட்டும் தெரியவருகிறது.

     ஜியோமிதியைத் தவிர வானவியல் சாஸ்திரம் மற்றும் இவை பற்றியும் அவர் அறிந்து வைத்திருந்தார் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.   ஜியோமிதி என்பது கணிதத்தின் ஒரு பகுதி ஆகும்.  அதாவது, வடிவங்கள் மற்றும் அவற்றின் கொள்ளவு பற்றிய அறிவியலாகும்.

     யூக்ளிடியன் ஜியோமிதி என்பது ஆய்ந்தறியப்பட்ட உண்மைகளின் அடிப்படையில் உருவாக்கப்பட்டது.  எனவே, இதுவே பிற்கால கணிதங்களின் அடித்தளம் ஆகும்.

     உதாரணமாக,

1.    ஒரு புள்ளியிலிருந்து மற்றொரு புள்ளியை இணைத்து நேர்கோடு வரையலாம்.

2.    மையப்புள்ளியில் இருந்து குறிப்பிட்ட ஆரத்தைக் கொண்டு வட்டம் வரைய முடியும்.

3.    ஒரு நேர்க்கோட்டின் இருமுனைப் புள்ளிகளை எவ்வளவு தூரம் வேண்டுமானாலும் நீட்டிச் செல்லலாம்.

4.    செங்கோணம் எப்போதும் 90º அளவைக் கொண்டதாக இருக்கும் என்பன போன்றவை யூக்ளிட் கண்டறிந்த ஜியோமிதி உண்மைகளாகும்.

கி.பி. 12 ஆம் நூற்றாண்டில் யூக்ளிட்டின் கண்டுபிடிப்புகள் அரேபிய மொழியில் எழுதப்பட்டன.  பின்பு அவை லத்தீன் மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டன.  அப்புத்தகத்தின் தலைப்பு “அடிப்படைக் கொள்கைகள்” ஆகும்.

     13 பாகங்கள் கொண்ட இப்புத்தகத்தின் முதல் பாகம் புள்ளி, நேர்க்கோடுகள், வட்டம், முக்கோணம் போன்ற வடிவங்கள் பலவற்றை விளக்குகின்றன.

     இரண்டாம் பாகம் ஜியோமிதி வடிவங்களை அல்ஜீப்ராவின் உதவியோடு உருவாக்குவதைக் பற்றி எடுத்துரைக்கின்றன.  மூன்று மற்றும் நான்காம் பாகங்கள் வட்டங்கள் பற்றி விளக்குகின்றன.  ஐந்து, ஆறாம் பாகங்கள் விகிதம் மற்றும் விகித சமங்களைப் பற்றி விளக்கிக் கூறுகின்றன.

     யூக்யிட்டின் புத்தகங்களில் கனசதுரம், நாற்கோணம், எண்கோணம், கோளம் உள்ளிட்ட பல கன வடிவங்கள் பற்றி தெளிவாக விளக்கப்பட்டுள்ளன.  யூக்ளிட் தனது காலத்திற்து முந்தைய பல கணித கண்டுபிடிப்புகளோடு தன் கண்டுபிடிப்புகளையும் சேர்த்து உருவாக்கியுள்ளார். 

     லத்தீன் மட்டுமின்றி உலகின் பல்வேறு மொழிகளிர் இந்நூற்கள் மொழிப்பெயர்க்கப்பட்டுள்ளன.  யூக்ளிட்டின் ஜியோமிதி நூற்களை ஆராய்ந்த ஜெர்மன் கணித மேதை ரீமன் என்பவர், “யூக்ளிடியன் ஜியோமிதி புதிய வழிமுறைகளை உருவாக்க உதவியுள்ளன என்றால் அது மிகையல்ல. 

     யூக்ளிட்டின் “அடிப்படைக் கொள்கைகள்” என்ற நூலானது 1482 ஆம் ஆண்டில் லத்தீன் மொழியிலும், 1570 ஆம் ஆண்டு ஆங்கிலத்திலும் வெளியிடப்பட்டது.

      “ஜியோமிதிக் கோட்பாட்டில் அனைவருமே ஒரே விதிகளைத்தான் கடைப்பிடித்தாக வேண்டும்; வேறு வழிகள் ஏதும் இல்லை” என்பது யூக்ளிட்டின் கருத்தாகும்.

     ஒருமுறை உயர்ந்த பிரமிட்டின் உயரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்று சிலர் யூக்ளிட்டிடம் கேட்டனர்.  பகல் பொழுதில் ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் தரையில் விழும் பிரமிட்டின் நிழல், அதன் உயரமாக இருக்கும் என்று கூறிய யூக்ளிட் அதை நிரூபித்தும் காட்டினார். 

     ஜியோமிதி பயிற்சி செய்யாமல் வெறும் செற்களால் அதை விவரிக்க இயலாது என்று யூக்ளிட்டின் கூறிவந்தார்.  அதுவே உண்மையுமாகும்.

     கூம்பு, பரப்பு, வட்டம், எண்கோணம் உள்ளிட்ட பல்வேறு வடிவங்களைப் பற்றியும், இசை பற்றியும் யூக்ளிட் நூற்கள் எழுதியுள்ளார்.  இவை தவிர ஒளியியல், வகுத்தல் விதிகள் பற்றியும் அவர் நூற்கள் எழுதியுள்ளார்.

     யூக்ளிட்டின் கண்டுபிடிப்புகளை வெளிப்படை உண்மைகளாக- நூல் வடிவமாக உருவாக்கித் தகுந்த பெருமை ஹில்பெர்ட் என்பவரைச் சாரும்.  அவர் அந்நூலை உருவாக்கியது 1899 ஆம் ஆண்டு ஆகும்.

     பல கவிஞர்கள், ஜோதிடர்கள், கணித மேதைகள் ஆகியோரை சிறந்த கல்விமானான மன்னர் டாலமி போற்றி கௌரவித்துள்ளார்.  இம்மனருக்கு யூக்ளிட் ஜியோமிதியைக் கற்பித்துள்ளார்.

     20ஆம் நூற்றாண்டின் இணையற்ற கணித மேதையாகவும் விஞ்ஞானியாகவும் திகழ்ந்த ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டீன், தனது 12ஆவது வயதில் யூக்ளிட்டின் ஜியோமிதிகளைக் கற்றுக்கொண்டதை தனது வாழ்வின் முக்கியமான காலகட்டமாகக் கருதினார் என்பதை நாம் அறிய வேண்டும்.

     “முழுமை அதன் அங்கங்களை விட சிறப்பானது” என்பது யூக்ளிட் கூறிய சிறந்த கருத்தாகும்.

     ஜியோமிதி விதிகளைக் கண்டுபிடித்த யூக்ளிட்டின் பெயர் எல்லா காலங்களிலும் ஒலித்துக் கொண்டிருக்கும்.

குறிப்பு : படித்ததில் பிடித்தது

நூல்  : உலக கணித மேதைகள்யுயூ

     

பிரம்ம குப்தா

   

       இந்தியாவின் மிகச் சிறந்த கணிதமேதைகள் மற்றும் வானவியல் நிபுணர்களில் ஒருவர் பிரம்ம குப்தா ஆவார்.  இவர் “தெற்கு மார்வார்” என்று அக்காலத்தில் அழைக்கப்பட்ட வட குஜராத்தில் “பினமாலா” என்னுமிடத்தில் கி.பி.598 ஆம் ஆண்டு பிறந்தார்.  இவரது தந்தையின் பெயர் ஜிஷ்ணு.

     பிரம்ம குப்தா எழுதிய ”பிரம்ம ஸ்புட சித்தாந்தம்” என்னும் நூல் மிகவும் புகழ்பெற்றதாகும்.  இது தவிர அவர் “கண்ட கத்யகா” என்னும் நூலையும் எழுதியுள்ளதாகக் கூறப்படுகிறது.

     பிரம்ம குப்தாவின் நூலுக்கு விளக்கம் அளித்துள்ள “வருணா” என்பவர், பிரம்மகுப்தாவை “பினமாலிக ஆச்சார்யா” என்று புகழ்ந்து கூறியுள்ளார்.

     ”பிரம்ம ஸ்புட சித்தாந்தம்” என்னும் நூல் 24 அத்தியாயங்களைக் கொண்டதாகும்.  அவ்வத்தியாயங்களில் மொத்தம் 1008 செய்யுட்கள் உள்ளன.  அந்நூலில் எண்கணிதம் அல்ஜீப்ரா பற்றிய பல தகவல்கள் கூறப்பட்டுள்ளன.

     அந்நூலின் 12ஆவது அத்தியாயம் எண்கணிதம், நில அளவை போன்றவை பற்றி தெரிவிக்கிறது.  18 ஆவது அத்தியாயம் அல்ஜீப்ராவைப் பற்றி எடுத்துரைக்கிறது.  இன்னும் சில அத்தியாயங்களில் வானவியல் பற்றியும் பல தகவல்கள் அடங்கியுள்ளன.    

     பிரம்ம குப்தா ஜியோமிதியில் நாற்கரம், செங்கோண முக்கோணம் போன்றவற்றில் அதிக கவனம் செலுத்தியுள்ளார்.

     பிரம்ம குப்தாவின் தேற்றம் இரு முக்கோணங்களில் பக்கங்களால் உருவாக்கப்பட்ட நாற்கரத்தின் தன்மையை எடுத்துரைக்கிறது.  அந்நாற்கரத்தன் பரப்பளவிற்குச் சமமான நாற்கரம் பற்றிய தகவலையும் எடுத்துரைக்கிறது.

     இது தவிர பிரம்ம குப்தா கண்டறிந்துள்ள மற்றொரு உண்மை கீழ்க்கண்டவாறு அமைந்துள்ளது.

      ஒரு நாற்கரத்தின் நான்கு முனைகளும், ஒரு வட்டத்தின் சுற்றுப்பாதையைத் தொட்டுக் கொண்டிருந்தால், அந்நாற்கரத்தின் பரப்பளவைக் கீழ்க்காணும் சூத்திரத்தின் படி அறிந்து கொள்ள முடியும்.

     உதராணமாக, A,B,C,D என்பது ஒரு நாற்கரம் என்று வைத்துக் கொள்வோம்.

     a,b,c,d என்பன முறையே அந்நாற்கரத்தின் பக்கங்களாகும்.

     அந்நாற்கரத்தின் சுற்றளவை ‘2S’ என்று பிரம்மகுப்தா குறிப்பிட்டுள்ளார்.

     நாற்கரத்தின் சுற்றளவு, 2s= a+b+c+d ஆகும்.

                    

     அல்ஜீப்ரா, எண்கணிதம் போன்றவற்றில் பிரம்ம குப்தா செய்த ஆராய்ச்சிகளின் விளைவாக உருவான சூத்திரம் NX² +1=Y² ஆகும்.  இது வர்க்கப் பிரகிருதி என்று அழைக்கப்படும்.

     N க்கு குறிப்பிட்ட மதிப்பு அளித்தால் X,Y இவற்றிற்கான மதிப்பைக் கண்டறியலாம்.

     இந்தியக் கணிதமேதைகளுள் ஒருவராகத் திகழ்ந்த இரண்டாம் பாஸ்கரா, பிரம்ம குப்தாவைப் பற்றிக் குறிப்பிடுகையில் ”கணிதத்துறையில் பிரம்மகுப்தா ஒரு ரத்தினம்” என்று புகழ்ந்துள்ளார்.

     நாற்கரங்கள் பற்றி பிரம்மகுப்தா கூறிய பல உண்மைகள் இன்றளவும் கடைபிடிக்கப்பட்டு வருகின்றன்.  அரேபியர்கள் வானவியல் நிபுணர் “டாலமி“யைப் பற்றி அறியுமுன்பே, வானவியல் பற்றி கற்பித்தவர் பிரம்மகுப்தா ஆவார்.  இன்றளவும் பிரம்மகுப்தாவின் வானவியல் கருத்துக்கள் அரேபிய மொழியில் மொழிப்பெயர்க்கப்பட்டுள்ளன.